Problèmes linéaires unidimensionnels
On étudie dans ce chapitre les suites $(u_n)_n$ satisfaisant une relation de récurrence de la forme $$\forall n \in \mathbb{N},\ u_{n+1} = au_n + b,$$ où $a$ et $b$ sont des nombres réels fixés, ainsi que les fonctions $y$ satisfaisant une équation différentielle de la forme $$\forall t \in I,\ y'(t) + a(t)y(t) = f(t)$$ où $I$ est un intervalle, et $a$ et $f$ sont deux fonctions continues sur $I$.
1.1 Relations de récurrence linéaire de pas 1
1.1.1 Suites
On rappelle qu'une suite de nombres réels, notée $(u_n)_{n\in\mathbb{N}}$, est une application qui à tout entier naturel $n\in\mathbb{N}$ (appelé indice) associe un nombre réel noté $u_n$ (appelé terme général de la suite).
Une suite peut aussi être définie uniquement à partir d'un certain rang $n_0$, auquel cas on la notera $(u_n)_{n\geqslant n_0}$ : par exemple la suite $\left(\dfrac{1}{n}\right)_{n\geqslant 1}$ des inverses des entiers naturels non nuls.
Une suite peut être définie par :
- la donnée de son terme général, soit sous forme explicite (par exemple $u_n=\dfrac{1}{n}$), soit sous forme implicite (par exemple $u_n$ est l'unique racine positive du trinôme $X^2+X-n$) ;
- une relation de récurrence de pas 1 et son premier terme. Par exemple, la suite des nombres factoriels est définie par $$0! = 1 \quad\text{et pour } n\in\mathbb{N},\ (n+1)! = (n+1)\times n!$$ Ce mode de définition par récurrence sera étendu ensuite à des pas supérieurs ou égaux à 2.
Vocabulaire
Résoudre une relation de récurrence consiste à obtenir une expression explicite du terme général d'une suite définie par une relation de récurrence, que son premier terme soit spécifié ou non (auquel cas, il joue le rôle d'un paramètre).
1.1.2 Suites arithmétiques
Définition 1.1
Une suite $(u_n)_n$ est dite arithmétique si la différence $u_{n+1}-u_n$ est constante, autrement dit s'il existe un nombre $b$ tel que la relation de récurrence suivante est satisfaite :
$$\forall n\in\mathbb{N},\ u_{n+1} = u_n + b.$$
On dit alors que $b$ est la raison de la suite.
Proposition 1.2
Si une suite $(u_n)_n$ est arithmétique de raison $b$, alors, pour tout $n\in\mathbb{N}$,
$$u_n = u_0 + bn.$$
1.1.3 Suites géométriques
Définition 1.3
Une suite $(u_n)_n$ non constamment nulle est dite géométrique s'il existe un nombre $a$ tel que pour tout $n\in\mathbb{N}$, $u_{n+1}=au_n$. On dit alors que $a$ est la raison de la suite.
Remarque 1.4
La suite constante nulle satisfait la relation $u_{n+1}=au_n$ quel que soit $a$. Elle serait géométrique pour toutes les raisons si on la considérait comme géométrique : il est préférable de l'exclure afin de pouvoir dire qu'une suite géométrique n'a qu'une et une seule raison.
Proposition 1.5
Si une suite $(u_n)_n$ est géométrique de raison $a$, alors, pour tout $n\in\mathbb{N}$,
$$u_n = a^n u_0.$$
1.1.4 Suites arithmético-géométriques
Définition 1.6
Une suite $(u_n)_n$ est dite arithmético-géométrique s'il existe des nombres $a$ et $b$ tels que pour tout $n\in\mathbb{N}$, $u_{n+1}=au_n+b$.
Lemme 1.7
Si deux suites $(u_n)_n$ et $(v_n)_n$ satisfont la même relation de récurrence arithmético-géométrique :
$$\forall n\in\mathbb{N},\ u_{n+1}=au_n+b \qquad\text{et}\qquad \forall n\in\mathbb{N},\ v_{n+1}=av_n+b,$$
alors la suite $(u_n-v_n)_n$ est géométrique de raison $a$.
⚠️ Correction
Le document indique que $(u_n-v_n)_n$ est « arithmétique de raison $a$ » : c'est incompatible avec le calcul lui-même. En soustrayant les deux relations,
$$u_{n+1}-v_{n+1} = (au_n+b)-(av_n+b) = a(u_n-v_n),$$
on obtient une relation multiplicative $w_{n+1}=aw_n$ (avec $w_n=u_n-v_n$), qui est exactement la relation définissant une suite géométrique de raison $a$ (Définition 1.3), et non une suite arithmétique (Définition 1.1, relation additive $u_{n+1}=u_n+b$). C'est du reste la seule lecture cohérente avec la formule donnée juste après, $v_n=u_n+Ka^n$ (croissance en $a^n$, caractéristique d'une suite géométrique, et non en $Kn$ comme le serait une suite arithmétique).
En conséquence, pour résoudre une relation de récurrence arithmético-géométrique, il suffit de trouver une solution particulière $(u_n)_n$ à cette relation, et toutes les suites satisfaisant la relation ont un terme général de la forme : $$v_n = u_n + Ka^n,\quad K\in\mathbb{R}.$$ Or, il est facile de trouver une solution sous la forme d'une suite $(u_n)_n$ constante : en effet, si $u_n=c$, la relation de récurrence devient $c=ac+b$, qui se résout dans le cas $a\neq 1$ en $c=\dfrac{b}{1-a}$.
Proposition 1.8
Soit $a$ et $b$ deux nombres, tels que $a\neq 1$. Alors, il existe une constante $c$ (dépendant de $a$ et $b$) telle que les suites $(u_n)_n$ qui satisfont la relation de récurrence $u_{n+1}=au_n+b$ sont les suites dont le terme général est de la forme :
$$u_n = c + Ka^n \quad\text{pour } K\in\mathbb{R}.$$
Méthode de résolution
Cette méthode (homogène + particulière) sera réinvestie pour les équations différentielles (§1.3).
Résoudre la relation homogène associée, à savoir $u_{n+1}=au_n$les solutions sont les suites géométriques de raison $a$
Rechercher une solution particulière de l'équation avec second membre, ici sous la forme d'une suite constante $c$
1.2 Primitives
1.2.1 Bref rappel sur les intervalles et la continuité
Définition 1.9
Une partie $I\subset\mathbb{R}$ est appelée un intervalle si pour tous $a$ et $b$ dans $I$, tout nombre $x$ compris entre $a$ et $b$ appartient encore à $I$.
Proposition 1.10
Les intervalles non vides de $\mathbb{R}$ se distinguent selon qu'ils sont bornés ou non, et qu'ils contiennent ou non leurs bornes finies :
- un seul intervalle ni minoré, ni majoré : $\mathbb{R} = \,]-\infty,+\infty[$ ;
- intervalles minorés mais non majorés : de l'une des deux formes $]a,+\infty[$ ou $[a,+\infty[$ (selon qu'ils contiennent ou non leur borne inférieure) ;
- intervalles majorés mais non minorés : de l'une des deux formes $]-\infty,b[$ ou $]-\infty,b]$ ;
- intervalles bornés : de l'une des formes $[a,b]$ (fermé), $]a,b]$, $[a,b[$ (semi-ouverts) ou $]a,b[$ (ouvert).
Définition 1.11
Une fonction $f$ est dite continue en un point $a$ où elle est définie si $\displaystyle\lim_{x\to a} f(x) = f(a)$. Elle est dite continue sur un domaine $D$ où elle est définie si elle est continue en tout point de $D$.
Remarque
L'objectif en ce début d'année n'est pas d'étudier la continuité ni d'un point de vue théorique, ni d'un point de vue pratique : on se contente de signaler l'existence de cette notion, et on admettra la continuité des fonctions considérées durant les premières semaines de cours.
1.2.2 Bref rappel sur la dérivation
On rappelle que la dérivée $F'$ d'une fonction $f$ est définie, sous réserve d'existence, par la formule : $$F'(x) = \lim_{h\to 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h}.$$ En pratique, on ne revient presque jamais à la définition : les calculs de dérivée sont exécutés à partir de la connaissance des dérivées des fonctions usuelles (exponentielle, logarithme, puissances, fonctions circulaires, polynômes), et des règles de compatibilité :
Proposition 1.12 — règles de dérivation
Toutes les fonctions considérées sont supposées dérivables.
- La dérivation est linéaire : $(\lambda u + \mu v)' = \lambda u' + \mu v'$.
- Dérivée d'un produit : $(uv)' = u'v + uv'$.
- Dérivée d'une puissance : $(u^n)' = nu'u^{n-1}$.
- Dérivée d'un inverse, d'un quotient : $$\left(\frac{1}{u}\right)' = -\frac{u'}{u^2}\ ; \qquad \left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v-uv'}{v^2} = u'\times\frac{1}{v} - u\times\frac{v'}{v^2}.$$
Définition 1.13 — composée
Soit $u$ et $v$ deux fonctions. On définit la fonction composée $u\circ v$ par l'expression $(u\circ v)(t) = u[v(t)]$. Cette expression est définie pour tous les réels $t$ tels que $v(t)$ est bien défini et $v(t)$ appartient au domaine de définition de $u$.
Proposition 1.14
Sous hypothèse de dérivabilité et d'existence de la composée :
$$(u\circ v)'(t) = u'(v(t))\times v'(t) \qquad\text{ou encore}\qquad (u\circ v)' = v'\times(u'\circ v).$$
1.2.3 Signe de la dérivée et variations
Définition 1.15
Une fonction $f$ est dite croissante sur un intervalle $I$ si, pour tous $x$ et $y$ dans $I$, $x\leqslant y \Rightarrow f(x)\leqslant f(y)$ ; autrement dit, prendre l'image par $f$ conserve l'ordre. Elle est dite strictement croissante si $xdécroissance ($x\leqslant y \Rightarrow f(x)\geqslant f(y)$) et la décroissance stricte ($xf(y)$).
Proposition 1.16
Soit $f$ une fonction dérivable sur un intervalle $I$ d'intérieur non vide (on exclut l'ensemble vide et les intervalles réduits à un point).
- Si pour tout $t\in I$, $f'(t)\geqslant 0$, alors $f$ est croissante sur $I$.
- Si pour tout $t\in I$, $f'(t)>0$, alors $f$ est strictement croissante sur $I$. La conclusion demeure si $f'(t)\geqslant 0$ pour tout $t$, et $f'(t)>0$ pour tout $t$ dans $I$ sauf en un nombre fini de points.
Exemple 1.17. Pour tout $n\in\mathbb{N}$, la fonction $t\mapsto t^{2n+1}$ est strictement croissante sur $\mathbb{R}$ : sa dérivée $t\mapsto (2n+1)t^{2n}$ est à valeurs positives sur $\mathbb{R}$ et ne s'annule qu'en un point (0).
1.2.4 Notion de primitive et théorème de quasi-unicité
Définition 1.18
On dit qu'une fonction $F$ est une primitive d'une fonction $f$ sur un intervalle $I$ si $F$ est dérivable et si $F'=f$.
Théorème 1.19 — quasi-unicité
Deux primitives d'une même fonction sur un intervalle diffèrent d'une constante. Autrement dit, si $F$ et $G$ sont deux fonctions dérivables sur un même intervalle $I$ telles que $F'=G'$ sur $I$, alors il existe une constante $c$ telle que $F=G+c$ sur $I$.
Remarque 1.20
Démontrer ce théorème peut être vu comme un objectif des constructions théoriques du premier semestre.
1.2.5 Théorème d'existence et conséquences
Théorème 1.21 — théorème fondamental de l'analyse
Si $f$ est une fonction continue sur un intervalle $I$, alors $f$ admet une primitive sur $I$. Plus précisément, pour tout $a\in I$, la fonction $\displaystyle x\mapsto \int_a^x f(t)\,\mathrm{d}t$ est une primitive de $f$ sur $I$.
Exemple 1.22. On souhaite définir la fonction logarithme népérien comme la primitive de la fonction inverse sur $\mathbb{R}^{*+}$ qui s'annule en 1. On peut raisonner de deux manières :
- on pose simplement $\ln(x) = \displaystyle\int_1^x \dfrac{\mathrm{d}t}{t}$ : la fonction ainsi définie est bien une primitive de la fonction inverse par le théorème fondamental de l'analyse (car la fonction inverse est continue sur $\mathbb{R}^{*+}$), et elle s'annule en 1 ;
- on considère une primitive $L$ de la fonction inverse sur $\mathbb{R}^{*+}$ (là encore assurée par le théorème fondamental de l'analyse), puis on pose $\ln(x) = L(x)-L(1)$ pour assurer l'annulation en 1.
Remarque 1.23La construction théorique nécessaire à la démonstration du Théorème 1.21 sera étudiée au deuxième semestre.
Corollaire 1.24
Si $f$ est une fonction continue et admet pour primitive $F$ sur l'intervalle $[a,b]$, alors :
$$\int_a^b f(t)\,\mathrm{d}t = F(b)-F(a).$$
Pour $f$ une fonction dérivable et de dérivée continue sur $[a,b]$ (une telle fonction est dite de classe $C^1$) :
$$\int_a^b f'(t)\,\mathrm{d}t = f(b)-f(a).$$
Notation 1.25
Pour toute expression $F(t)$, la notation $[F(t)]_{t=a}^{t=b}$ désigne $F(b)-F(a)$. Lorsqu'aucune confusion n'est possible quant au paramètre en lequel on évalue, on autorise la notation abrégée $[F(t)]_a^b$.
La définition (géométrique) de l'intégrale sera étudiée ultérieurement. Pour le moment, nous aurons besoin des propriétés suivantes du calcul intégral :
Proposition 1.26
Les fonctions considérées sont supposées continues.
- Linéarité de l'intégrale : $\displaystyle\int_a^b \big(\lambda u(t)+\mu v(t)\big)\,\mathrm{d}t = \lambda\int_a^b u(t)\,\mathrm{d}t + \mu\int_a^b v(t)\,\mathrm{d}t.$
- Intégration par parties (fonctions $u,v$ de classe $C^1$ sur $[a,b]$) : $$\int_a^b u'(t)v(t)\,\mathrm{d}t = \big[u(t)v(t)\big]_{t=a}^{t=b} - \int_a^b u(t)v'(t)\,\mathrm{d}t.$$
- Changement de variable ($\varphi$ de classe $C^1$ sur $[\alpha,\beta]$, $a=\varphi(\alpha)$, $b=\varphi(\beta)$, $u$ continue sur $[a,b]$) : $$\int_\alpha^\beta u(\varphi(t))\,\varphi'(t)\,\mathrm{d}t = \int_a^b u(s)\,\mathrm{d}s.$$
Remarque 1.27
Le calcul de primitives repose donc sur la connaissance des primitives usuelles, et sur le théorème fondamental de l'analyse qui permet de ramener le calcul de primitives à un calcul d'intégrale, pour lequel on dispose de l'intégration par parties et du changement de variable. Contrairement au calcul de dérivée, cette boîte à outils ne permet en général pas de mener un calcul de primitive « jusqu'au bout ». Par exemple :
- pour exprimer une primitive sur $\mathbb{R}^{*+}$ de $x\mapsto \dfrac{1}{x}$, il a été vu en Terminale qu'il est nécessaire d'introduire une nouvelle fonction, le logarithme népérien ;
- on verra cette année que pour exprimer une primitive sur $\mathbb{R}$ de $t\mapsto \dfrac{1}{1+t^2}$, il sera nécessaire d'introduire la fonction $\arctan$ (réciproque de $\tan = \sin/\cos$) ;
- même avec la nouvelle collection de fonctions usuelles étudiées cette année, maints exemples subsisteront : $t\mapsto e^{t^2}$, $t\mapsto e^{1/t}$, $t\mapsto \dfrac{1}{t}\ln(t)$ par exemple.
1.3 Équations différentielles linéaires d'ordre 1
On résout les équations de la forme $\forall t\in I,\ y'(t)+a(t)y(t)=f(t)$, où $I$ est un intervalle, $a$ et $f$ sont des fonctions continues sur $I$, et $y$ est la fonction inconnue, cherchée parmi les fonctions dérivables sur $I$.
Définition 1.28
On appelle équation homogène associée à l'équation $y'+ay=f$ l'équation $y'+ay=0$. On dit aussi que $f$ est le second membre de l'équation initiale, et donc que l'équation homogène est « sans second membre ».
Attention à bien faire porter l'adjectif « homogène » sur le mot « équation » — on parle d'équation homogène et d'équation avec second membre, jamais d'« homogénéité des solutions ».
1.3.1 Exploitation de la linéarité
Définition 1.29
Soit $y_1$ et $y_2$ deux objets mathématiques de même nature (deux fonctions, deux suites, deux vecteurs, bientôt deux matrices). On appelle combinaisons linéaires de $y_1$ et $y_2$ les objets $\alpha_1 y_1 + \alpha_2 y_2$, pour $\alpha_1,\alpha_2\in\mathbb{R}$.
Remarque 1.30
La notion d'« objet mathématique » et celle de « nature » d'un objet ne sont pas bien définies pour l'instant. La notion d'espace vectoriel, vue dans quelques semaines, précisera dans quel cadre il est pertinent de considérer des combinaisons linéaires ; les objets seront alors uniformément appelés des vecteurs, et $\alpha_1,\alpha_2$ des scalaires (réels ou complexes).
Proposition 1.31
Soit une équation différentielle linéaire d'ordre 1 sur un intervalle $I$, de la forme $y'+ay=f$.
- L'ensemble des solutions de l'équation homogène associée est stable par combinaison linéaire : si $y_1,y_2$ satisfont $y'+ay=0$, alors pour tous $\alpha_1,\alpha_2$, $\alpha_1y_1+\alpha_2y_2$ est encore solution de $y'+ay=0$.
- La différence de deux solutions de l'équation avec second membre est une solution de l'équation homogène associée.
- Principe de superposition. Si $y_1$ est solution de $y'+ay=f_1$ et $y_2$ de $y'+ay=f_2$, alors $y_1+y_2$ est solution de $y'+ay=f_1+f_2$.
Le point 2 permet d'utiliser la même stratégie que pour les relations de récurrence arithmético-géométriques : résolution de l'équation homogène, puis recherche d'une solution particulière de l'équation avec second membre.
1.3.2 Fonction exponentielle
On a rappelé plus haut la définition du logarithme népérien comme l'unique primitive de la fonction inverse sur $\mathbb{R}^{*+}$ qui s'annule en 1. Cette fonction est continue et strictement croissante sur $\mathbb{R}^{*+}$, et admet les limites $\displaystyle\lim_{x\to 0^+}\ln(x)=-\infty$ et $\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\ln(x)=+\infty$. Le théorème des valeurs intermédiaires conjugué à la croissance stricte permet d'affirmer que tout réel $y$ admet un unique antécédent $x\in\mathbb{R}^{*+}$ par $\ln$.
Définition 1.32
Pour tout réel $y$, on définit l'exponentielle de $y$, notée $e^y$, comme l'unique antécédent de $y$ par la fonction $\ln$ dans $\mathbb{R}^{*+}$.
Proposition 1.33
- La fonction exponentielle est définie sur $\mathbb{R}$, à valeurs dans $\mathbb{R}^{*+}$. Tout $x\in\mathbb{R}^{*+}$ admet un unique antécédent par la fonction exponentielle (dans $\mathbb{R}$).
- Pour tout réel $y$, $\ln(e^y)=y$.
- Pour tout réel strictement positif $x$, $e^{\ln(x)}=x$.
- Pour $x_1,x_2>0$, $\ln(x_1x_2)=\ln(x_1)+\ln(x_2)$. De plus $\ln(1/x_1)=-\ln(x_1)$, et pour $n\in\mathbb{Z}$, $\ln(x_1^n)=n\ln(x_1)$.
- Pour $y_1,y_2\in\mathbb{R}$, $e^{y_1+y_2}=e^{y_1}e^{y_2}$. De plus $e^{-y_1}=\dfrac{1}{e^{y_1}}$ et pour $n\in\mathbb{Z}$, $(e^{y_1})^n=e^{ny_1}$.
- La fonction exponentielle est dérivable et égale à sa dérivée.
1.3.3 Résolution de l'équation homogène
Théorème 1.34
Soit $I$ un intervalle et $a$ une fonction continue sur $I$. Soit $A$ une primitive de $a$ sur $I$. Alors les solutions de $y'+ay=0$ sur $I$ sont les fonctions
$$t\mapsto Ke^{-A(t)},\quad\text{pour } K\in\mathbb{R}.$$
La résolution d'une telle équation différentielle se ramène donc à un calcul de primitive.
À retenir
$$y'+a(t)y=0 \ \Longrightarrow\ y(t) = Ke^{-A(t)},\quad A'=a,\ K\in\mathbb{R}.$$
Corollaire 1.35
Une solution d'une équation $y'+ay=0$ sur un intervalle de continuité $I$ soit est constamment nulle sur $I$, soit ne s'annule pas sur $I$.
1.3.4 Méthode de variation de la constante
C'est une méthode de changement de fonction inconnue. On suppose que $y_0$ est une solution de $y'+ay=0$ qui ne s'annule pas sur l'intervalle $I$ de résolution. On cherche une solution $y_p$ de l'équation avec second membre $y'+ay=f$ sous la forme $y_p=\lambda y_0$, où $\lambda$ est une nouvelle fonction inconnue.
Dérivation de la méthode
$y_p = \lambda y_0 \Rightarrow y_p' = \lambda' y_0 + \lambda y_0'$
$y_p' + ay_p = \lambda' y_0 + \lambda(y_0'+ay_0)$on regroupe les termes en $\lambda$
$y_0'+ay_0=0$ (par hypothèse) $\Rightarrow\ y_p'+ay_p = \lambda' y_0$
Donc $y_p'+ay_p=f \iff \lambda' = \dfrac{f}{y_0}$$y_0$ ne s'annule pas sur $I$, donc $f/y_0$ est bien définie et continue
Le nom « variation de la constante » vient du fait que les solutions de l'équation homogène sont les fonctions $\lambda y_0$ où $\lambda$ est constante : la méthode consiste à reprendre ce paramètre $\lambda$ en le laissant varier.
Cette méthode ramène donc la recherche de $y_p$ à un calcul de primitive. Notons $\Lambda$ une primitive de $f/y_0$ (continue car $y_0$ ne s'annule pas sur $I$).
Proposition 1.36
Soit $I$ un intervalle et $a,f$ deux fonctions continues sur $I$. Les solutions de $y'+ay=f$ sur $I$ sont les fonctions de la forme
$$t\mapsto \big(K+\Lambda(t)\big)y_0(t),\quad\text{pour } K\in\mathbb{R},$$
où $y_0$ est une solution de l'équation homogène $y'+ay=0$ qui ne s'annule pas sur $I$, et $\Lambda$ une primitive sur $I$ de $f/y_0$.
À retenir
$$y'+ay=f \ \Longrightarrow\ y(t) = \big(K+\Lambda(t)\big)y_0(t),\qquad \Lambda' = \frac{f}{y_0}.$$
1.3.5 Autres techniques de calcul
La méthode de variation de la constante est générique. D'autres méthodes peuvent être plus directes sur des équations particulières. Par exemple, si $a$ et $f$ sont constantes, il convient de chercher $y_p$ sous forme d'une constante : en imposant $y_p=c$ dans $y'+ay=f$, l'équation devient $ac=f$, donc $c=\dfrac{f}{a}$ convient si $a\neq 0$. Cette stratégie fonctionne plus généralement dès que le quotient $f/a$ est constant.
On verra en exercice des cas où l'on recherche $y_p$ sous la forme d'un polynôme, ou d'une fonction puissance : les énoncés guident ce type de recherche, surtout en première année.
1.3.6 Extension aux équations $ay'+by=f$
Il arrive souvent qu'on considère des équations de la forme $ay'+by=f$ sur un intervalle $I$, où $a,b,f$ sont continues. Deux cas se présentent :
- si $a$ ne s'annule pas sur $I$, on divise l'équation par $a$ et l'on se ramène à $y' + \dfrac{b}{a}y = \dfrac{f}{a}$ : tout ce qui précède s'applique alors ;
- si $a$ s'annule en un point $t_0$, la division par $a$ n'est plus possible en $t_0$. La technique consiste alors à résoudre l'équation de part et d'autre de $t_0$, puis à étudier comment les solutions se « recollent » en ce point. Ce n'est pas un objectif du programme, et de tels exemples ne seront étudiés que si le temps le permet — ce qui ne sera pas le cas en début d'année.
Définition 1.37
Soit une équation $ay'+by=f$ sur un intervalle $I$ où $a,b,f$ sont continues. Tout point d'annulation de $a$ est appelé point singulier de l'équation. Une équation sans point singulier est dite régulière. Un intervalle ne contenant aucun point singulier est appelé intervalle de régularité.
Remarque
La Proposition 1.31 reste valable pour les équations $ay'+by=f$, même en cas de singularités.
1.3.7 Problème de Cauchy
Définition 1.38
Soit une équation différentielle $y'+ay=f$ (ou une équation $ay'+by=f$ supposée régulière) sur un intervalle $I$. Soit $t_0\in I$ et $y_0$ un nombre. On appelle problème de Cauchy le système d'inconnue $y$ constitué de l'équation différentielle et de la condition initiale $y(t_0)=y_0$ :
$$\begin{cases}\forall t\in I,\ y'(t)+a(t)y(t) = f(t)\\ y(t_0)=y_0.\end{cases}$$
On dit plus précisément qu'il s'agit d'un problème de Cauchy linéaire d'ordre 1, au vu de l'équation différentielle.
Exemple 1.39. La fonction exponentielle est la solution du problème de Cauchy $\begin{cases}y'=y\\ y(0)=1.\end{cases}$
Remarque 1.40
On verra dans un autre chapitre les problèmes de Cauchy linéaires d'ordre 2. Les problèmes de Cauchy non linéaires ne sont pas abordés en première année.
Théorème 1.41
Soit un problème de Cauchy linéaire d'ordre 1 :
$$\begin{cases}\forall t\in I,\ y'(t)+a(t)y(t) = f(t)\\ y(t_0)=y_0.\end{cases}$$
Alors ce problème admet une unique solution.
À retenir — existence et unicité
Un problème de Cauchy linéaire d'ordre 1 admet toujours une solution, et une seule. La constante $K$ de la Proposition 1.36 est déterminée de façon unique par la condition initiale $y(t_0)=y_0$.
Remarque 1.42
Ce théorème (et ses généralisations) est à la base de la physique classique déterministe : on décrit un problème physique par une équation d'évolution, et connaissant l'état initial du système, on est capable de décrire théoriquement son état à tout instant ultérieur. Techniquement, tous les problèmes physiques ne se laissent pas décrire par une équation d'évolution linéaire d'ordre 1 ! Le théorème étudié ici n'est donc, de ce point de vue, qu'un archétype.
Quiz de fin de chapitre
1. Pourquoi la Définition 1.3 exclut-elle explicitement la suite constamment nulle des suites géométriques ?
Réponse
Parce que la suite nulle vérifie $u_{n+1}=au_n$ (soit $0=a\times 0$) pour n'importe quelle valeur de $a$. Si on l'autorisait comme suite géométrique, elle aurait simultanément une infinité de raisons possibles, ce qui contredirait l'idée qu'une suite géométrique a une raison bien définie et unique.
Parce que la suite nulle vérifie $u_{n+1}=au_n$ (soit $0=a\times 0$) pour n'importe quelle valeur de $a$. Si on l'autorisait comme suite géométrique, elle aurait simultanément une infinité de raisons possibles, ce qui contredirait l'idée qu'une suite géométrique a une raison bien définie et unique.
2. Qu'est-ce qui distingue une équation « homogène » d'une équation « avec second membre » ? Le mot « homogène » porte-t-il sur l'équation ou sur les solutions ?
Réponse
L'équation homogène associée à $y'+ay=f$ est $y'+ay=0$ (Définition 1.28) : c'est l'équation obtenue en annulant le second membre $f$. L'adjectif « homogène » qualifie l'équation, jamais les solutions — on ne parle pas d'« homogénéité des solutions ».
L'équation homogène associée à $y'+ay=f$ est $y'+ay=0$ (Définition 1.28) : c'est l'équation obtenue en annulant le second membre $f$. L'adjectif « homogène » qualifie l'équation, jamais les solutions — on ne parle pas d'« homogénéité des solutions ».
3. Résoudre le problème de Cauchy $y'+2y=6$, $y(0)=5$.
Réponse
$a=2$, $f=6$ sont constantes, donc une solution particulière constante est $y_p=\dfrac{f}{a}=3$ (§1.3.5). L'équation homogène $y'+2y=0$ a pour solutions $Ke^{-2t}$ (Théorème 1.34, avec $A(t)=2t$). La solution générale est $y(t)=3+Ke^{-2t}$. La condition $y(0)=5$ donne $3+K=5$, soit $K=2$. Donc $y(t) = 3+2e^{-2t}$.
$a=2$, $f=6$ sont constantes, donc une solution particulière constante est $y_p=\dfrac{f}{a}=3$ (§1.3.5). L'équation homogène $y'+2y=0$ a pour solutions $Ke^{-2t}$ (Théorème 1.34, avec $A(t)=2t$). La solution générale est $y(t)=3+Ke^{-2t}$. La condition $y(0)=5$ donne $3+K=5$, soit $K=2$. Donc $y(t) = 3+2e^{-2t}$.
4. Une suite arithmético-géométrique vérifie $u_{n+1}=3u_n-4$. Donner l'expression explicite de $u_n$ en fonction de $u_0$.
Réponse
Ici $a=3$, $b=-4$. La solution constante particulière vérifie $c=3c-4 \Rightarrow c=2$. D'après la Proposition 1.8, $u_n=2+K\cdot 3^n$. En $n=0$ : $u_0=2+K \Rightarrow K=u_0-2$. Donc $u_n = 2+(u_0-2)\cdot 3^n$.
Ici $a=3$, $b=-4$. La solution constante particulière vérifie $c=3c-4 \Rightarrow c=2$. D'après la Proposition 1.8, $u_n=2+K\cdot 3^n$. En $n=0$ : $u_0=2+K \Rightarrow K=u_0-2$. Donc $u_n = 2+(u_0-2)\cdot 3^n$.
5. Pourquoi la méthode de « variation de la constante » exige-t-elle que $y_0$ (solution de l'équation homogène) ne s'annule pas sur $I$ ? Que se passerait-il dans la division si $y_0$ s'annulait en un point ?
Réponse
La méthode pose $\lambda' = f/y_0$ (§1.3.4) : si $y_0(t_1)=0$ pour un certain $t_1\in I$, cette expression n'est pas définie en $t_1$ (division par zéro), et $\lambda$ ne peut plus être obtenue par un calcul de primitive sur tout $I$. Le Corollaire 1.35 garantit précisément qu'une solution non nulle de l'équation homogène ne s'annule jamais sur un intervalle de continuité — ce qui légitime a posteriori le choix de $y_0$ dans la méthode.
La méthode pose $\lambda' = f/y_0$ (§1.3.4) : si $y_0(t_1)=0$ pour un certain $t_1\in I$, cette expression n'est pas définie en $t_1$ (division par zéro), et $\lambda$ ne peut plus être obtenue par un calcul de primitive sur tout $I$. Le Corollaire 1.35 garantit précisément qu'une solution non nulle de l'équation homogène ne s'annule jamais sur un intervalle de continuité — ce qui légitime a posteriori le choix de $y_0$ dans la méthode.
6. Que se passe-t-il si l'on essaie d'appliquer la Proposition 1.8 ($u_n=c+Ka^n$) à une relation $u_{n+1}=u_n+b$ (suite purement arithmétique, $a=1$) ?
Réponse
La formule $c=\dfrac{b}{1-a}$ n'est valable que pour $a\neq 1$ (division par $1-a$) : si $a=1$, elle diverge (division par zéro). C'est cohérent, car pour $a=1$ il n'existe pas de solution constante à $u_{n+1}=u_n+b$ dès que $b\neq 0$ — la suite est purement arithmétique et croît indéfiniment ($u_n=u_0+bn$, Proposition 1.2), elle ne peut pas s'écrire sous la forme $c+K\cdot 1^n=c+K$ (qui serait constante).
La formule $c=\dfrac{b}{1-a}$ n'est valable que pour $a\neq 1$ (division par $1-a$) : si $a=1$, elle diverge (division par zéro). C'est cohérent, car pour $a=1$ il n'existe pas de solution constante à $u_{n+1}=u_n+b$ dès que $b\neq 0$ — la suite est purement arithmétique et croît indéfiniment ($u_n=u_0+bn$, Proposition 1.2), elle ne peut pas s'écrire sous la forme $c+K\cdot 1^n=c+K$ (qui serait constante).
7. Piège classique : un lemme de ce chapitre affirme qu'une certaine différence de suites arithmético-géométriques est « arithmétique de raison $a$ ». Où est l'erreur, et quelle est la bonne affirmation ?
Réponse
C'est le Lemme 1.7 (voir l'encart ⚠️ Correction) : en soustrayant les deux relations $u_{n+1}=au_n+b$ et $v_{n+1}=av_n+b$, on obtient $u_{n+1}-v_{n+1}=a(u_n-v_n)$, une relation multiplicative — c'est la définition même d'une suite géométrique de raison $a$ (Définition 1.3), pas d'une suite arithmétique (qui serait définie par une relation additive $w_{n+1}=w_n+b$, Définition 1.1).
C'est le Lemme 1.7 (voir l'encart ⚠️ Correction) : en soustrayant les deux relations $u_{n+1}=au_n+b$ et $v_{n+1}=av_n+b$, on obtient $u_{n+1}-v_{n+1}=a(u_n-v_n)$, une relation multiplicative — c'est la définition même d'une suite géométrique de raison $a$ (Définition 1.3), pas d'une suite arithmétique (qui serait définie par une relation additive $w_{n+1}=w_n+b$, Définition 1.1).
8. Piège classique : dans le Corollaire 1.24, pourquoi est-il essentiel que $f$ soit continue (et non simplement dérivable) pour que $\displaystyle\int_a^b f(t)\,\mathrm{d}t = F(b)-F(a)$ ait un sens, et en quoi ce résultat diffère-t-il du second énoncé du corollaire ($\int_a^b f'(t)\,\mathrm{d}t=f(b)-f(a)$) ?
Réponse
Dans le premier énoncé, $f$ est la fonction que l'on intègre et $F$ en est une primitive (donc $F'=f$) : la continuité de $f$ garantit à la fois l'existence de $F$ (Théorème 1.21) et le sens de l'intégrale. Dans le second énoncé, les rôles sont inversés : c'est $f$ elle-même qui joue le rôle de la primitive, et on intègre sa dérivée $f'$ — cela suppose que $f$ soit dérivable et que $f'$ soit continue (fonction de classe $C^1$), une hypothèse plus forte que la simple continuité de $f$.
Dans le premier énoncé, $f$ est la fonction que l'on intègre et $F$ en est une primitive (donc $F'=f$) : la continuité de $f$ garantit à la fois l'existence de $F$ (Théorème 1.21) et le sens de l'intégrale. Dans le second énoncé, les rôles sont inversés : c'est $f$ elle-même qui joue le rôle de la primitive, et on intègre sa dérivée $f'$ — cela suppose que $f$ soit dérivable et que $f'$ soit continue (fonction de classe $C^1$), une hypothèse plus forte que la simple continuité de $f$.
9. Synthèse : expliquez en une chaîne de raisonnement comment on passe de la résolution d'une équation homogène $y'+ay=0$ à la résolution complète d'un problème de Cauchy $y'+ay=f$, $y(t_0)=y_0$.
Réponse
On résout d'abord l'équation homogène $y'+ay=0$ : ses solutions sont $t\mapsto Ke^{-A(t)}$ où $A'=a$ (Théorème 1.34). On choisit une solution non nulle $y_0(t)=e^{-A(t)}$ de cette équation homogène, puis on applique la variation de la constante : en posant $y=\lambda y_0$, l'équation avec second membre se réduit à $\lambda'=f/y_0$ (§1.3.4), ce qui ramène tout au calcul d'une primitive $\Lambda$ de $f/y_0$. La solution générale de $y'+ay=f$ est alors $y(t)=(K+\Lambda(t))y_0(t)$ (Proposition 1.36). Enfin, la condition initiale $y(t_0)=y_0$ fixe la constante $K$ de façon unique, ce qui donne l'unique solution du problème de Cauchy (Théorème 1.41).
On résout d'abord l'équation homogène $y'+ay=0$ : ses solutions sont $t\mapsto Ke^{-A(t)}$ où $A'=a$ (Théorème 1.34). On choisit une solution non nulle $y_0(t)=e^{-A(t)}$ de cette équation homogène, puis on applique la variation de la constante : en posant $y=\lambda y_0$, l'équation avec second membre se réduit à $\lambda'=f/y_0$ (§1.3.4), ce qui ramène tout au calcul d'une primitive $\Lambda$ de $f/y_0$. La solution générale de $y'+ay=f$ est alors $y(t)=(K+\Lambda(t))y_0(t)$ (Proposition 1.36). Enfin, la condition initiale $y(t_0)=y_0$ fixe la constante $K$ de façon unique, ce qui donne l'unique solution du problème de Cauchy (Théorème 1.41).
10. Synthèse : en quoi la méthode « résoudre l'homogène, puis chercher une solution particulière » est-elle exactement la même pour les suites arithmético-géométriques (§1.1) et pour les équations différentielles linéaires d'ordre 1 (§1.3) ? Sur quelle propriété algébrique commune repose cette analogie ?
Réponse
Dans les deux cas, on exploite la linéarité de l'opérateur en jeu (Lemme 1.7 pour les suites, Proposition 1.31 pour les équations différentielles) : la différence de deux solutions de l'équation « avec second membre » est toujours solution de l'équation « homogène » associée. On peut donc écrire toute solution comme (solution particulière) + (solution homogène générale). Pour les suites, l'homogène $u_{n+1}=au_n$ donne les suites géométriques $Ka^n$ ; pour les équations différentielles, l'homogène $y'+ay=0$ donne les fonctions $Ke^{-A(t)}$. Dans les deux cas, on cherche ensuite une solution particulière (constante pour les suites et pour les équations à coefficients constants, via variation de la constante dans le cas général).
Dans les deux cas, on exploite la linéarité de l'opérateur en jeu (Lemme 1.7 pour les suites, Proposition 1.31 pour les équations différentielles) : la différence de deux solutions de l'équation « avec second membre » est toujours solution de l'équation « homogène » associée. On peut donc écrire toute solution comme (solution particulière) + (solution homogène générale). Pour les suites, l'homogène $u_{n+1}=au_n$ donne les suites géométriques $Ka^n$ ; pour les équations différentielles, l'homogène $y'+ay=0$ donne les fonctions $Ke^{-A(t)}$. Dans les deux cas, on cherche ensuite une solution particulière (constante pour les suites et pour les équations à coefficients constants, via variation de la constante dans le cas général).
Sources
- Programme officiel de mathématiques CPGE 1re année (voie PCSI), bloc « Analyse — suites et fonctions » : enseignementsup-recherche.gouv.fr (programmes CPGE, filière PCSI)
- H-Prépa Mathématiques 1re année MPSI/PCSI (Hachette Éducation) — chapitres « Suites arithmético-géométriques » et « Équations différentielles linéaires du premier ordre »
- Correction du Lemme 1.7 : dérivation directe présentée dans l'encart ⚠️ ci-dessus, à partir des Définitions 1.1 et 1.3 de ce même chapitre (pas de source externe nécessaire — incohérence interne du document vérifiable par calcul).