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Chapitre 2 : Nombres complexes

Mathématiques · CPGE PCSI (Lycée Louis Barthou, Pau) · Transcription rigoureuse du cours manuscrit

I. Construction de l'ensemble ℂ

Situation On cherche à résoudre, pour une équation de degré 2 à coefficients réels $ax^2+bx+c=0$ (avec $a\neq 0$), le cas où le discriminant est strictement négatif — cas pour lequel aucune solution réelle n'existe.

Procédé : on invente une solution $i$, telle que $i=\sqrt{-1}$, à l'équation $x^2+1=0$.

Définition — Nombre complexe On appelle nombres complexes les expressions de la forme $a+b i$ avec $a$ et $b$ réels, soumises aux règles de calcul suivantes :
  1. Addition : $$(a_1+b_1i)+(a_2+b_2i) = (a_1+a_2)+(b_1+b_2)i$$
  2. Multiplication : $$(a_1+b_1i)\times(a_2+b_2i) = a_1a_2-b_1b_2+(a_1b_2+b_1a_2)i$$
Égalité : pour $a_1,a_2,b_1,b_2$ réels, $$a_1+b_1i = a_2+b_2i \iff \begin{cases}a_1=a_2\\b_1=b_2\end{cases}$$ C'est ce qu'on appelle une identification des parties réelles et imaginaires.
Propriétés — L'addition
  • est associative : $(z_1+z_2)+z_3=z_1+(z_2+z_3)$ ;
  • est commutative : $z_1+z_2=z_2+z_1$ ;
  • admet un élément neutre : le nombre $0_{\mathbb{C}}=0_{\mathbb{R}}+0_{\mathbb{R}}i$ vérifie $z+0_{\mathbb{C}}=z$ pour tout $z$ ;
  • est telle que chaque nombre complexe admet un opposé : si $z=a+bi$ avec $a,b$ réels, alors $z+(-a+(-b)i)=0_{\mathbb{C}}$, ce nombre étant noté $-z$.
On définit alors $z_1-z_2 = z_1+(-z_2)$.
Propriétés — La multiplication
  • est associative ;
  • est commutative ;
  • admet pour élément neutre le nombre $1_{\mathbb{C}}=1_{\mathbb{R}}+0_{\mathbb{R}}i$ ;
  • est telle que chaque $z\in\mathbb{C}$ non nul admet un inverse.
Formule de l'inverse Si $z=a+bi$ avec $a,b$ réels et $z\neq 0$, alors $$z^{-1}=\frac{1}{z}=\frac{a}{a^2+b^2}-\frac{b}{a^2+b^2}i.$$
$(a+bi)\times\left(\dfrac{a}{a^2+b^2}-\dfrac{b}{a^2+b^2}i\right)$
$=\dfrac{a^2}{a^2+b^2}+\dfrac{b^2}{a^2+b^2}+\left(-\dfrac{ab}{a^2+b^2}+\dfrac{ba}{a^2+b^2}\right)i$
$=\dfrac{a^2+b^2}{a^2+b^2}=1$l'inverse est donc bien vérifié
Vocabulaire Si $z=a+bi$ avec $a$ et $b$ réels, on dit que $a$ est la partie réelle de $z$ et $b$ la partie imaginaire de $z$. On note $\begin{cases}a=\mathrm{Re}(z)\\b=\mathrm{Im}(z)\end{cases}$.
Notation $\mathbb{C}$ désigne l'ensemble des nombres complexes. On dispose d'une inclusion canonique $\mathbb{R}\subset\mathbb{C}$ : si $x\in\mathbb{R}$, on le voit comme le complexe $x=x+0i$.

II. Résolution des équations du second degré dans ℂ

1) Racines carrées d'un nombre complexe

Propriété Tout nombre complexe non nul admet deux racines carrées, opposées l'une à l'autre.
Démonstration Soit $Z=A+Bi$ (non nul). Cherchons les nombres $z=a+bi$ tels que $z^2=Z$ (c.-à-d. $z$ est une racine carrée de $Z$) : $$z^2=Z \iff (a+bi)^2=A+Bi \iff a^2-b^2+2abi=A+Bi \iff \begin{cases}a^2-b^2=A\\2ab=B\end{cases}$$

Cas $B=0$ (c.-à-d. $Z\in\mathbb{R}$) : la 2e équation devient $2ab=0$, donc $a=0$ ou $b=0$.

  • si $a=0$ : la 1re équation devient $A=-b^2$, qui impose $A\leqslant 0$ et $b=\pm\sqrt{-A}$ ;
  • si $b=0$ : la 1re équation devient $A=a^2$, qui impose $A\geqslant 0$ et $a=\pm\sqrt{A}$.

Bilan du cas $B=0$ : un nombre réel $Z=A$ admet deux racines carrées complexes, opposées, qui sont : $$\begin{cases}\pm\sqrt{A} &\text{si } A\geqslant 0\\ \pm i\sqrt{-A} &\text{si } A\leqslant 0\end{cases}$$

Cas $B\neq 0$ : la 2e équation $2ab=B\neq 0$ impose $a\neq 0$ et $b\neq 0$. On pose le changement d'inconnue $\alpha=a^2\geqslant 0$. En substituant $b=\dfrac{B}{2a}$ dans la 1re équation, on obtient (après réduction au même dénominateur puis multiplication par $4a^2$) : $$4\alpha^2-4A\alpha-B^2=0$$ dont on cherche les solutions réelles positives. Discriminant réduit : $16A^2+16B^2>0$ (strictement, car $Z\neq 0$). Les solutions sont $$\alpha=\frac{4A\pm4\sqrt{A^2+B^2}}{8}=\frac{1}{2}\left(A\pm\sqrt{A^2+B^2}\right)$$ Comme $\sqrt{A^2+B^2}\geqslant |A|$, seule la racine avec le signe $+$ est positive (donc recevable pour $\alpha=a^2$) : $$\alpha=\frac{1}{2}\left(A+\sqrt{A^2+B^2}\right)\geqslant 0$$

Bilan du cas $B\neq 0$ : le nombre $Z=A+iB$ admet deux racines carrées, opposées, qui sont : $$\pm\left(\sqrt{\tfrac{1}{2}\left(A+\sqrt{A^2+B^2}\right)} \;+\; i\,\frac{B}{2\sqrt{\tfrac{1}{2}\left(A+\sqrt{A^2+B^2}\right)}}\right) = \pm\frac{1}{\sqrt2}\left(\sqrt{A+\sqrt{A^2+B^2}} \;+\; i\,\frac{B}{\sqrt{A+\sqrt{A^2+B^2}}}\right)$$

Remarque — Équation bicarrée Une équation de la forme $ax^4+bx^2+c=0$ (où $a,b,c$ sont des nombres réels ou complexes) est appelée équation bicarrée (ou biquadratique). Technique : poser le changement d'inconnue $X=x^2$, pour se ramener à une équation de degré 2 : $aX^2+bX+c=0$.

2) Équation générale du second degré

Soit $a,b,c$ des nombres réels ou complexes avec $a\neq 0$. On cherche à résoudre l'équation $(E) : az^2+bz+c=0$, où $z$ est l'inconnue. Posons $P(z)=az^2+bz+c$ (polynôme du second degré).

Mise sous forme canonique $$P(z)=a\left(z^2+\frac{b}{a}z+\frac{c}{a}\right) = a\left[\left(z+\frac{b}{2a}\right)^2-\frac{b^2}{4a^2}+\frac{c}{a}\right] = a\left[\left(z+\frac{b}{2a}\right)^2+\frac{4ac-b^2}{4a^2}\right]$$ D'où l'équivalence, puisque $a\neq 0$ : $$P(z)=0 \iff \left(z+\frac{b}{2a}\right)^2 = \frac{b^2-4ac}{4a^2} = \frac{b^2-4ac}{(2a)^2}$$
Théorème Soit $az^2+bz+c=0 \; (E)$ une équation de degré 2 avec $a\neq 0$ ($a,b,c\in\mathbb{C}$). On appelle discriminant le nombre $\Delta=b^2-4ac$. Soit $\pm\delta$ les racines carrées de $\Delta$. Alors les solutions de $(E)$ sont : $$z=\frac{-b\pm\delta}{2a}$$
Démonstration D'après la forme canonique, $P(z)=0 \iff \left(z+\dfrac{b}{2a}\right)^2 = \left(\dfrac{\delta}{2a}\right)^2 \iff \left(z+\dfrac{b}{2a}\right)^2-\left(\dfrac{\delta}{2a}\right)^2=0$. On factorise par différence de carrés, puis on utilise le fait que dans $\mathbb{C}$ (comme dans $\mathbb{R}$), un produit de deux facteurs est nul si et seulement si l'un des deux facteurs est nul : $$\left(z+\frac{b}{2a}-\frac{\delta}{2a}\right)\left(z+\frac{b}{2a}+\frac{\delta}{2a}\right)=0 \iff z=\frac{-b+\delta}{2a} \text{ ou } z=\frac{-b-\delta}{2a}$$
Remarque — Cas $a,b,c$ réels
  • si $\Delta\geqslant 0$ : on retrouve le résultat vu en cours de 1re (racines réelles) ;
  • si $\Delta<0$ : alors $\delta$ est un imaginaire pur, de la forme $\delta=i\sqrt{-\Delta}$.
Exemples
  1. $z^2+z+1=0$ : $\Delta=1-4=-3$. Ses racines carrées sont $\pm i\sqrt3$. Les solutions sont $z=\dfrac{-1\pm i\sqrt3}{2}$.
  2. $z^2-z+1=0$ : $\Delta=1-4=-3$. Ses racines carrées sont $\pm i\sqrt3$. Les solutions sont $z=\dfrac{1\pm i\sqrt3}{2}$.
  3. $z^2+2z+i=0$ : $\Delta=2^2-4\times 1\times i=4-4i=4(1-i)$.
    On cherche $\delta=a+bi$ tel que $\delta^2=4(1-i)$, c.-à-d. $a^2-b^2=4$ et $2ab=-4$. On trouve $a^2+b^2=\sqrt{4^2+4^2}=4\sqrt2$ (module de $4(1-i)$), d'où $a^2=2+2\sqrt2$ et $b^2=2\sqrt2-2$, soit $\delta=\sqrt2\left(\sqrt{1+\sqrt2}-\dfrac{i}{\sqrt{1+\sqrt2}}\right)$.
    Les solutions de $(E)$ sont donc $$z=-1\pm\left[\frac{\sqrt2}{2}\sqrt{1+\sqrt2}\;-\;i\,\frac{\sqrt2}{2\sqrt{1+\sqrt2}}\right]$$ (le signe $\pm$ porte sur le crochet entier, pas sur la seule partie réelle).

III. Application : suites récurrentes linéaires d'ordre 2

Objectif : résoudre les équations de récurrence linéaires d'ordre 2, homogènes, à coefficients constants (EDL2 à coefficients constants).

Théorème Soit $a,b,c$ des nombres réels ou complexes avec $a\neq 0$. On considère l'équation de récurrence $$(E) : \forall n\in\mathbb{N}, \quad a\,u_{n+2}+b\,u_{n+1}+c\,u_n=0$$ On lui associe l'équation caractéristique $az^2+bz+c=0$. Notons $r_1,r_2\in\mathbb{C}$ ses racines.
  • Si $r_1\neq r_2$ : les solutions de $(E)$ sont les suites $(\lambda\, r_1^n+\mu\, r_2^n)_{n\in\mathbb{N}}$ où $(\lambda,\mu)\in\mathbb{R}^2$ ou $\mathbb{C}^2$ (selon que l'on cherche les suites réelles ou complexes).
  • Si $r_1=r_2$ (discriminant de l'équation caractéristique nul) : les solutions de $(E)$ sont les suites $\big[(\lambda n+\mu)\,r_1^n\big]_{n\in\mathbb{N}}$ où $(\lambda,\mu)\in\mathbb{R}^2$ ou $\mathbb{C}^2$.
Exemples d'application
  1. $u_{n+2}-3u_{n+1}+2u_n=0$ : équation caractéristique $z^2-3z+2=0$, $\Delta=9-8=1>0$, racines $z_1=\dfrac{3-1}{2}=1$, $z_2=\dfrac{3+1}{2}=2$.
    Solutions de $(E)$ : $(\lambda+\mu\,2^n)_{n\in\mathbb{N}}$, $(\lambda,\mu)\in\mathbb{R}^2$ ou $\mathbb{C}^2$.
  2. $u_{n+2}+u_{n+1}+u_n=0$ : équation caractéristique $z^2+z+1=0$, $\Delta=1-4=-3<0$, ses racines carrées sont $\pm i\sqrt3$, donc les racines caractéristiques sont $\dfrac{-1\pm i\sqrt3}{2}$.
    Solutions de $(E)$ : $\left(\lambda\left(\dfrac{-1-i\sqrt3}{2}\right)^n+\mu\left(\dfrac{-1+i\sqrt3}{2}\right)^n\right)_{n\in\mathbb{N}}$, $(\lambda,\mu)\in\mathbb{R}^2$ ou $\mathbb{C}^2$.
Remarque — Version « équation différentielle » Le même théorème s'applique, avec la même équation caractéristique, aux équations différentielles linéaires d'ordre 2 à coefficients constants $ay''+by'+cy=0$, en remplaçant $r_i^n$ par $t\mapsto \mathrm{e}^{r_it}$.
Exemple : $y''+3y'+2y=0$ : équation caractéristique $z^2+3z+2=0$, $\Delta=9-8=1>0$, racines $r_1=-1$, $r_2=-2$. Les solutions sont $t\mapsto \lambda\mathrm{e}^{-t}+\mu\mathrm{e}^{-2t}$ ($\lambda,\mu$ constantes).
Démonstration du théorème (cas $r_1\neq r_2$)

1. Par double inclusion — sens direct. Prenons $u_n=r_i^n$ où $i\in\{1,2\}$. Alors : $$a\,u_{n+2}+b\,u_{n+1}+c\,u_n = a\,r_i^{n+2}+b\,r_i^{n+1}+c\,r_i^n = r_i^n\underbrace{\left(a\,r_i^2+b\,r_i+c\right)}_{=0} = 0$$ donc $(r_i^n)_{n\in\mathbb{N}}$ est solution de $(E)$, pour $i\in\{1,2\}$. Comme $(E)$ est linéaire et homogène, toute combinaison linéaire $(\lambda r_1^n+\mu r_2^n)_{n\in\mathbb{N}}$ est encore solution.

2. Réciproquement. Soit $(u_n)_n$ une suite solution de $(E)$. Puisque $r_1\neq r_2$, l'un des deux (au moins) est non nul ; quitte à les intervertir, on suppose $r_1\neq 0$, et on pose $v_n=u_n\,r_1^{-n}$.

$a\,v_{n+2}=a\,u_{n+2}\,r_1^{-(n+2)}=(-b\,u_{n+1}-c\,u_n)\,r_1^{-(n+2)}$car $a\,u_{n+2}=-b\,u_{n+1}-c\,u_n$ d'après $(E)$
$=-\dfrac{b}{r_1}v_{n+1}-\dfrac{c}{r_1^2}v_n$

En multipliant par $r_1^2$ : $a\,r_1^2\,v_{n+2}+b\,r_1\,v_{n+1}+c\,v_n=0$. Or, $r_1$ et $r_2$ étant racines de $az^2+bz+c=0$, les relations coefficients–racines donnent $b=-a(r_1+r_2)$ et $c=a\,r_1r_2$. En substituant puis en divisant par $a\,r_1\neq 0$ : $$r_1\,v_{n+2}-(r_1+r_2)\,v_{n+1}+r_2\,v_n=0 \iff r_1(v_{n+2}-v_{n+1})=r_2(v_{n+1}-v_n)$$ c.-à-d. $$v_{n+2}-v_{n+1}=\frac{r_2}{r_1}(v_{n+1}-v_n)$$ La suite $(v_{n+1}-v_n)_n$ est donc géométrique de raison $\dfrac{r_2}{r_1}$. En notant $\alpha=v_1-v_0$ : $$v_{n+1}-v_n=\alpha\left(\frac{r_2}{r_1}\right)^n$$

Télescopage. En sommant ces égalités pour $k=0,\dots,n-1$ (rappel : somme des termes d'une suite géométrique de raison $q\neq 1$, $\displaystyle\sum_{k=0}^{n-1}q^k=\frac{1-q^n}{1-q}$) : $$v_n-v_0=\sum_{k=0}^{n-1}\alpha\left(\frac{r_2}{r_1}\right)^k = \alpha\,\frac{1-\left(\frac{r_2}{r_1}\right)^n}{1-\frac{r_2}{r_1}}$$ D'où, en revenant à $u_n=v_n\,r_1^n$ et en regroupant les constantes : $$u_n = v_0\,r_1^n+\frac{\alpha}{1-\frac{r_2}{r_1}}\left(r_1^n-r_2^n\right) = \beta\,r_1^n+\gamma\,r_2^n$$ avec $\beta,\gamma$ constantes. Ceci achève la preuve dans le cas $r_1\neq r_2$.

Remarque Le cas $r_1=r_2$ se traite de façon analogue (non détaillé ici, laissé en exercice).
Exemple — recherche des constantes à partir de conditions initiales On reprend l'équation $u_{n+2}+2u_{n+1}+10u_n=0$ (équation caractéristique $z^2+2z+10=0$, de racines $-1+3i$ et $-1-3i$), assortie des conditions initiales $u_0=0$, $u_1=1$.
On sait que $u_n=\alpha(-1+3i)^n+\beta(-1-3i)^n$ pour deux constantes $\alpha,\beta$. Les conditions initiales donnent : $$\begin{cases}0=u_0=\alpha+\beta\\1=u_1=\alpha(-1+3i)+\beta(-1-3i)\end{cases} \iff \begin{cases}\beta=-\alpha\\1=\alpha\big[(-1+3i)-(-1-3i)\big]=6i\alpha\end{cases}$$ d'où $\alpha=\dfrac{1}{6i}=-\dfrac{i}{6}$ et $\beta=\dfrac{i}{6}$.
Bilan : l'unique suite satisfaisant la relation de récurrence et les conditions initiales est $$\left(-\frac{i}{6}(-1+3i)^n+\frac{i}{6}(-1-3i)^n\right)_{n\in\mathbb{N}}$$

IV. Écriture exponentielle d'un nombre complexe

1) Définition et propriétés algébriques

Définition Soit $t\in\mathbb{R}$. On note $$\mathrm{e}^{it}=\cos(t)+i\sin(t)$$
Vocabulaire Un nombre de la forme $ix\,t$ où $t\in\mathbb{R}$ est appelé imaginaire pur. Pour $z=x+iy$, on note $\begin{cases}x=\mathrm{Re}(z)\\y=\mathrm{Im}(z)\end{cases}$.

Pour $z=x+iy$ ($x,y\in\mathbb{R}$), on pose $\mathrm{e}^z=\mathrm{e}^x\times\mathrm{e}^{iy}=\mathrm{e}^x\cos(y)+i\,\mathrm{e}^x\sin(y)$.

Propriété $$\mathrm{e}^{z_1+z_2}=\mathrm{e}^{z_1}\times \mathrm{e}^{z_2} \qquad\text{et}\qquad \mathrm{e}^z\neq 0,\ \ \frac{1}{\mathrm{e}^z}=\mathrm{e}^{-z}$$
Démonstration de $\mathrm{e}^{z_1+z_2}=\mathrm{e}^{z_1}\mathrm{e}^{z_2}$ Soit $z_1=x_1+iy_1$, $z_2=x_2+iy_2$. $$\mathrm{e}^{z_1}\times\mathrm{e}^{z_2}=\mathrm{e}^{x_1}\mathrm{e}^{iy_1}\times\mathrm{e}^{x_2}\mathrm{e}^{iy_2}=\mathrm{e}^{x_1+x_2}\big(\cos y_1+i\sin y_1\big)\big(\cos y_2+i\sin y_2\big)$$ $$=\mathrm{e}^{x_1+x_2}\Big[\big(\cos y_1\cos y_2-\sin y_1\sin y_2\big)+i\big(\cos y_1\sin y_2+\cos y_2\sin y_1\big)\Big]$$ $$=\mathrm{e}^{x_1+x_2}\big[\cos(y_1+y_2)+i\sin(y_1+y_2)\big]=\mathrm{e}^{(x_1+x_2)+i(y_1+y_2)}=\mathrm{e}^{z_1+z_2}$$ (formules trigonométriques utilisées : $\cos(a+b)=\cos a\cos b-\sin a\sin b$ et $\sin(a+b)=\sin a\cos b+\cos a\sin b$.)
Exercice Montrer que $\mathrm{e}^z\neq 0$ et $\dfrac{1}{\mathrm{e}^z}=\mathrm{e}^{-z}$, puis calculer $\mathrm{e}^z\times\mathrm{e}^{-z}$.
Réponse — $\mathrm{e}^z\times\mathrm{e}^{-z}=\mathrm{e}^{z+(-z)}=\mathrm{e}^0=1$. Donc $\mathrm{e}^z\neq 0$ et $\dfrac{1}{\mathrm{e}^z}=\mathrm{e}^{-z}$.

2) Module d'un nombre complexe

Définition Soit $z=x+iy\in\mathbb{C}$ écrit sous forme cartésienne. On appelle module de $z$, noté $|z|$, le nombre réel positif $$|z|=\sqrt{x^2+y^2}$$

Exemples : $|2+i|=\sqrt{2^2+1^2}=\sqrt5$ ; $\;|3+4i|=\sqrt{3^2+4^2}=\sqrt{25}=5$.

Propriétés — pour $z_1,z_2\in\mathbb{C}$
  1. $|z_1\times z_2|=|z_1|\times|z_2|$
  2. $|z|=0 \iff z=0$
  3. si $z\neq 0$, $\left|\dfrac{1}{z}\right|=\dfrac{1}{|z|}$
  4. (inégalité triangulaire) $|z_1+z_2|\leqslant|z_1|+|z_2|$
Démonstration de la propriété 1 Notons $z_1,z_2$ sous forme cartésienne : $z_1=x_1+iy_1$, $z_2=x_2+iy_2$, de sorte que $z_1z_2=(x_1x_2-y_1y_2)+i(x_1y_2+x_2y_1)$. D'où : $$|z_1z_2|^2=(x_1x_2-y_1y_2)^2+(x_1y_2+x_2y_1)^2 = x_1^2x_2^2+y_1^2y_2^2+x_1^2y_2^2+x_2^2y_1^2$$ et $$\big(|z_1|\times|z_2|\big)^2=|z_1|^2\times|z_2|^2=(x_1^2+y_1^2)(x_2^2+y_2^2)=x_1^2x_2^2+y_1^2x_2^2+x_1^2y_2^2+y_1^2y_2^2$$ Les deux expressions coïncident. Or deux réels positifs de même carré sont égaux, donc $|z_1z_2|=|z_1|\times|z_2|$.

3) Conjugué d'un nombre complexe

Définition Soit $z=x+iy$ écrit sous forme canonique. On appelle conjugué de $z$, noté $\bar z$, le nombre $\bar z = x-iy$.
Propriétés
  1. pour $z\neq 0$ : $\dfrac{1}{z}=\dfrac{\bar z}{|z|^2}$ (car $|z|^2=z\bar z$) ;
  2. $\overline{z_1+z_2}=\bar z_1+\bar z_2$, $\;\overline{z_1\times z_2}=\bar z_1\times\bar z_2$, $\;\overline{-z}=-\bar z$, $\;\overline{\left(\dfrac1z\right)}=\dfrac1{\bar z}$ ;
  3. $|\bar z|=|z|$ ;
  4. $z\in\mathbb{R}\iff \bar z=z$, et $z\in i\mathbb{R}\iff\bar z=-z$ ;
  5. $\overline{\mathrm{e}^z}=\mathrm{e}^{\bar z}$ (démonstration ci-dessous).
Démonstration : $\overline{\mathrm{e}^z}=\mathrm{e}^{\bar z}$ Pour $z=x+iy$ sous forme cartésienne : $$\overline{\mathrm{e}^z}=\overline{\mathrm{e}^{x+iy}}=\overline{\mathrm{e}^x\cos y+i\,\mathrm{e}^x\sin y}=\mathrm{e}^x\cos(y)-\mathrm{e}^x\sin(y)i=\mathrm{e}^x\cos(-y)+i\,\mathrm{e}^x\sin(-y)=\mathrm{e}^{x-iy}=\mathrm{e}^{\bar z}$$ (rappel : cosinus est paire, $\cos(-a)=\cos(a)$ ; sinus est impaire, $\sin(-a)=-\sin(a)$.)
Remarque — deux usages du symbole $\iff$ Le symbole $\iff$ intervient dans deux contextes distincts : (1) la résolution d'une équation (ensemble des solutions préservé à chaque étape) ; (2) la démonstration d'une équivalence logique entre deux propriétés.

4) Argument et forme exponentielle générale

Théorème Soit $z\in\mathbb{C}$. Alors il existe un couple $(\rho,\theta)$ avec $\rho\in\mathbb{R}_+^*$, $\theta\in\mathbb{R}$, tel que $z=\rho\,\mathrm{e}^{i\theta}$. De plus, $\rho$ est unique et $\rho=|z|$ ; $\theta$ n'est défini qu'à un multiple de $2\pi$ près.
Autrement dit : si $\rho_1\mathrm{e}^{i\theta_1}=z=\rho_2\mathrm{e}^{i\theta_2}$ avec $\rho_1,\rho_2>0$ et $\theta_1,\theta_2$ réels, alors $\rho_1=\rho_2$ et il existe $k\in\mathbb{Z}$ tel que $\theta_1-\theta_2=2k\pi$.
Définition — Écriture exponentielle, argument L'écriture $z=\rho\,\mathrm{e}^{i\theta}$ est appelée écriture exponentielle d'un nombre complexe, et les $\theta$ qui conviennent sont appelés les arguments de $z$ (notés $\arg(z)$). On parle d'argument principal lorsqu'on impose l'unicité de l'argument, l'intervalle étant fixé (en général $]-\pi,\pi]$).
Remarque Le nombre $0$ admet aussi une écriture exponentielle : $0=\rho\,\mathrm{e}^{i\theta}$ avec $\rho=0$ et $\theta\in\mathbb{R}$ quelconque.
Propriété Les nombres de la forme $\mathrm{e}^{i\theta}$, où $\theta\in\mathbb{R}$, sont exactement les nombres complexes de module 1 : $|\mathrm{e}^{i\theta}|=1$ si $\theta\in\mathbb{R}$, et réciproquement si $|z|=1$ alors il existe $\theta\in\mathbb{R}$ tel que $z=\mathrm{e}^{i\theta}$.

5) Exemples de mise sous forme exponentielle

Exemples
  1. $z=-1+i$ : $|z|=\sqrt2$, $\dfrac{z}{|z|}=\dfrac{-1}{\sqrt2}+\dfrac{1}{\sqrt2}i=\cos\!\left(\dfrac{3\pi}{4}\right)+i\sin\!\left(\dfrac{3\pi}{4}\right)$, donc $z=\sqrt2\,\mathrm{e}^{i\,3\pi/4}$.
  2. $z=\dfrac{1}{1+i}$ : $1+i=\sqrt2\,\mathrm{e}^{i\pi/4}$, donc $z=\dfrac{1}{\sqrt2}\,\mathrm{e}^{-i\pi/4}$. On vérifie par une autre méthode : $z=\dfrac{1-i}{(1+i)(1-i)}=\dfrac{1-i}{2}$, d'où $|z|=\sqrt{\tfrac14+\tfrac14}=\dfrac{1}{\sqrt2}$ et $\dfrac{z}{|z|}=\dfrac{\sqrt2}{2}-i\dfrac{\sqrt2}{2}=\mathrm{e}^{-i\pi/4}$.
  3. $z=\sqrt3+i$ : $|z|=\sqrt{3+1}=2$, $\dfrac{z}{|z|}=\dfrac{\sqrt3}{2}+\dfrac12 i=\cos\!\left(\dfrac{\pi}{6}\right)+i\sin\!\left(\dfrac{\pi}{6}\right)$, d'où $z=2\,\mathrm{e}^{i\pi/6}$.
  4. $z=1+2i$ : $|z|=\sqrt5$, $\dfrac{z}{|z|}=\dfrac{1}{\sqrt5}+\dfrac{2}{\sqrt5}i$, soit $z=\sqrt5\,\mathrm{e}^{i\arccos(1/\sqrt5)}=\sqrt5\,\mathrm{e}^{i\arcsin(2/\sqrt5)}$, avec $\theta=\arctan(2)$ (car $\tan\theta=\dfrac{\sin\theta}{\cos\theta}=\dfrac{2/\sqrt5}{1/\sqrt5}=2$).

6) Transformation de l'angle moitié

Écrire $1+\mathrm{e}^{i\theta}$ sous forme exponentielle Notons $z=1+\mathrm{e}^{i\theta}$. Calculons $|z|^2=z\bar z$ : $$|z|^2=(1+\mathrm{e}^{i\theta})(1+\mathrm{e}^{-i\theta})=1+\mathrm{e}^{i\theta}+\mathrm{e}^{-i\theta}+\underbrace{\mathrm{e}^{i\theta}\mathrm{e}^{-i\theta}}_{=1}=2+2\cos\theta$$
Formules d'Euler $$\cos(\theta)=\frac{\mathrm{e}^{i\theta}+\mathrm{e}^{-i\theta}}{2} \qquad\qquad \sin(\theta)=\frac{\mathrm{e}^{i\theta}-\mathrm{e}^{-i\theta}}{2i}$$
Formules de trigonométrie — angle double $$\cos(2a)=2\cos^2(a)-1=1-2\sin^2(a) \qquad\qquad \sin(2a)=2\cos(a)\sin(a)$$ D'où $1+\cos(2a)=2\cos^2(a)$ et $1-\cos(2a)=2\sin^2(a)$.
Suite du calcul En posant $2a=\theta$ dans $1+\cos(2a)=2\cos^2(a)$ : $$|z|^2=2+2\cos\theta = 4\cos^2\!\left(\frac{\theta}{2}\right) \implies |z|=2\left|\cos\!\left(\frac\theta2\right)\right|$$ Idée : dans $z=1+\mathrm{e}^{i\theta}$, on factorise par $\mathrm{e}^{i\theta/2}$ : $$z=\mathrm{e}^{i\theta/2}\left(\mathrm{e}^{-i\theta/2}+\mathrm{e}^{i\theta/2}\right) = 2\cos\!\left(\frac\theta2\right)\mathrm{e}^{i\theta/2}$$ Si $\cos\!\left(\dfrac\theta2\right)\geqslant 0$, ceci est directement la forme exponentielle recherchée. Si $\cos\!\left(\dfrac\theta2\right)<0$, on utilise $\mathrm{e}^{i\pi}=-1$ pour écrire $$z=2\left|\cos\!\left(\frac\theta2\right)\right|\,\mathrm{e}^{i\left(\frac\theta2+\pi\right)}$$

V. Plan complexe

On rapporte le plan euclidien usuel à un repère orthonormé $(O,\vec\imath,\vec\jmath)$. À un nombre complexe $z$, on associe son image $M$ dans le plan, qui est le point de coordonnées $\big(\mathrm{Re}(z),\mathrm{Im}(z)\big)$.

Définition — Affixe Tout point $M$ est alors l'image d'un unique nombre $z\in\mathbb{C}$, qu'on appelle l'affixe de $M$. On note $M(z)$.

Alors, pour $z$ d'image $M$ :

  • $|z|=OM$ ;
  • $\arg(z)=(\vec\imath,\overrightarrow{OM})$ ;
  • le point $M'(\bar z)$ est le symétrique de $M(z)$ par rapport à l'axe des réels $(O,\vec\imath)$.
Re(z) Im(z) M(z) ρ θ M'(z̄) O
Fig. 1 — Point image $M(z)=\rho\mathrm{e}^{i\theta}$ : $\rho=OM=|z|$, $\theta=\arg(z)$ ; $M'(\bar z)$ est le symétrique de $M(z)$ par rapport à l'axe des réels.
Exercice — Placer les images des points $z_1=2+i$, $\;\mathrm{e}^{i\pi/4}$, $\;1+\mathrm{e}^{i\pi/3}$, $\;\sqrt3+i$, $\;1-i\sqrt3$.
Re Im 1 1 2+i e^(iπ/4) 1+e^(iπ/3) √3+i 1-i√3
Fig. 2 — Placement des images de $z_1=2+i$, $\mathrm{e}^{i\pi/4}$, $1+\mathrm{e}^{i\pi/3}$, $\sqrt3+i$ et $1-i\sqrt3$ (échelle : le cercle tracé est le cercle unité).

Quiz de fin de chapitre

1. [Définition] Pourquoi ne peut-on pas trouver, dans $\mathbb{R}$, de solution à $x^2+1=0$, et que fait-on pour y remédier ?
Réponse
Pour tout réel $x$, $x^2\geqslant 0$, donc $x^2+1\geqslant 1>0$ : l'équation n'a aucune solution réelle. On invente alors un nombre $i$ (non réel) vérifiant $i^2=-1$, ce qui donne naissance à l'ensemble $\mathbb{C}$ des nombres $a+bi$.
2. [Définition] Que vaut l'élément neutre de la multiplication dans $\mathbb{C}$, et pourquoi tout complexe non nul y admet-il un inverse ?
Réponse
Le neutre est $1_{\mathbb{C}}=1_{\mathbb{R}}+0_{\mathbb{R}}i$. Si $z=a+bi\neq 0$, alors $a^2+b^2\neq 0$, ce qui permet de définir $z^{-1}=\dfrac{a}{a^2+b^2}-\dfrac{b}{a^2+b^2}i$, et l'on vérifie que $z\times z^{-1}=1$.
3. [Application directe] Résoudre dans $\mathbb{C}$ l'équation $z^2-4z+13=0$.
Réponse
$\Delta=16-52=-36<0$. Ses racines carrées sont $\pm 6i$. Les solutions sont $z=\dfrac{4\pm 6i}{2}=2\pm 3i$.
4. [Application directe] Calculer les racines carrées complexes de $-9$.
Réponse
Ici $A=-9\leqslant 0$ (cas $B=0$), donc les racines carrées sont $\pm i\sqrt{9}=\pm 3i$.
5. [Conceptuel] Pourquoi, lorsque $a,b,c$ sont réels et $\Delta<0$, les deux solutions de $az^2+bz+c=0$ sont-elles nécessairement conjuguées l'une de l'autre ?
Réponse
Si $\Delta<0$, sa racine carrée $\delta=i\sqrt{-\Delta}$ est un imaginaire pur. Les solutions $z=\dfrac{-b\pm\delta}{2a}$ ont donc la même partie réelle $-\dfrac{b}{2a}$ (réelle, car $a,b$ réels) et des parties imaginaires opposées : elles sont bien conjuguées.
6. [Conceptuel] Que change, dans la forme des solutions d'une récurrence $au_{n+2}+bu_{n+1}+cu_n=0$, le fait que le discriminant de l'équation caractéristique soit nul ($r_1=r_2$) ?
Réponse
On ne dispose plus que d'une seule racine caractéristique $r_1$, donc d'une seule famille de solutions $r_1^n$ : il en manque une seconde, indépendante, pour engendrer tout l'espace des solutions. On introduit alors le facteur $n$ : les solutions deviennent $\big[(\lambda n+\mu)r_1^n\big]_{n\in\mathbb{N}}$.
7. [Piège classique] Peut-on écrire directement « $\sqrt{-3}$ » pour désigner une racine carrée complexe de $-3$ ?
Réponse
Non : le symbole $\sqrt{\phantom{x}}$ n'est défini que pour les réels positifs. Pour un réel négatif $A$, ses deux racines carrées complexes s'écrivent $\pm i\sqrt{-A}$ (ici $\pm i\sqrt3$), jamais « $\sqrt A$ » au sens usuel — c'est une confusion classique et pénalisée.
8. [Piège classique] Est-il vrai que $\dfrac{1}{z}=\bar z$ pour tout complexe non nul $z$ ?
Réponse
Non, en général $\dfrac1z=\dfrac{\bar z}{|z|^2}$ : l'égalité $\dfrac1z=\bar z$ n'est vraie que dans le cas particulier où $|z|=1$ (module 1), par exemple pour $z=\mathrm{e}^{i\theta}$.
9. [Synthèse] Quel est le lien entre l'écriture exponentielle $z=\rho\,\mathrm{e}^{i\theta}$ et la représentation géométrique de $z$ dans le plan complexe ?
Réponse
Si $M$ est l'image de $z$, alors $\rho=OM=|z|$ (la distance de $M$ à l'origine) et $\theta=\arg(z)=(\vec\imath,\overrightarrow{OM})$ (l'angle orienté entre l'axe des réels et $\overrightarrow{OM}$). L'écriture exponentielle est donc l'exacte traduction algébrique des coordonnées polaires de $M$.
10. [Synthèse] Pourquoi la résolution des suites récurrentes linéaires d'ordre 2 à coefficients réels ($au_{n+2}+bu_{n+1}+cu_n=0$) passe-t-elle nécessairement par $\mathbb{C}$, même si la suite $(u_n)$ recherchée est réelle ?
Réponse
L'équation caractéristique $az^2+bz+c=0$ peut avoir un discriminant négatif, auquel cas ses racines $r_1,r_2$ sont complexes (conjuguées) même si $a,b,c$ sont réels. La base de solutions $(r_1^n,r_2^n)$ vit alors dans $\mathbb{C}$ ; ce n'est qu'en choisissant des constantes $\lambda,\mu$ complexes conjuguées adaptées aux conditions initiales que la combinaison $\lambda r_1^n+\mu r_2^n$ redevient réelle.

Sources & Références

  • Programme officiel de Mathématiques en CPGE PCSI — Ministère de l'Enseignement Supérieur et de la Recherche.
  • Notes manuscrites de cours de Clarisse — Chapitre 2 : Nombres complexes.
  • Ouvrages de référence : H-Prépa Mathématiques PCSI (Analyse 1ère année), Tout-en-un Mathématiques PCSI (Dunod).