Mathématiques · CPGE PCSI 1re année · Cours du Lycée Saint-Louis (Paris) — polycopié du professeur · Transcription HTML générée le 30 septembre 2026
À propos de cette transcription
Le contenu suit fidèlement le polycopié (PDF original). La numérotation est celle du polycopié, préfixée du numéro de chapitre (Définition 5.1 = « Définition 1 » du PDF ; Proposition 5.2 = « Proposition 2 »). Les blocs « Résolution rédigée » (repliés) sont des ajouts pour la révision : le polycopié ne donne que les énoncés des exemples, traités en classe.
I. Inégalités dans ℝ
Les résultats qui suivent découlent de la construction de l'ensemble des nombres réels. Cette construction n'étant pas au programme, on admettra les résultats suivants. Il s'agit des propriétés basiques et bien connues des inégalités, mais elles sont écrites dans un langage formel.
Proposition 5.1 — Ordre total sur ℝ
$\mathbb{R}$ est muni d'une relation de comparaison $\leq$ qui est dite relation d'ordre total, c'est-à-dire qu'elle possède les propriétés suivantes :
Remarque
Autrement dit : on peut additionner des inégalités, multiplier des inégalités entre des nombres positifs et passer aux quotients dans des inégalités entre des nombres de même signe en changeant le sens des inégalités.
Méthode 5.1
Pour soustraire deux inégalités, on procède en deux étapes : on multiplie la bonne inégalité par $-1$ puis on ajoute les inégalités.
Pour faire un produit d'inégalités, on se ramène au cas où les nombres sont tous positifs, quitte à multiplier par $-1$ en étape intermédiaire.
Pour faire un quotient d'inégalités, on procède en deux étapes : on inverse la bonne inégalité (en faisant attention aux signes !) puis on multiplie les inégalités.
➪ Exemple 5.1
Soient $a,b,c,d,e,f,x,y,z\in\mathbb{R}$ tels que $0<a\leq x\leq b$, $d\leq y\leq c<0$ et $0<e\leq z\leq f$. Encadrer :
$x-y$
$xy$
$\dfrac{x-y}{z}$
Résolution rédigée
$x-y$ : de $d\leq y\leq c$ on tire $-c\leq -y\leq -d$ ; on ajoute à $a\leq x\leq b$ :
$$a-c\;\leq\; x-y\;\leq\; b-d.$$
$xy$ : on se ramène à des positifs : $0<a\leq x\leq b$ et $0<-c\leq -y\leq -d$, donc $a(-c)\leq x(-y)\leq b(-d)$, soit $-ac\leq -xy\leq -bd$ et, en multipliant par $-1$ :
$$bd\;\leq\; xy\;\leq\; ac.$$
$\dfrac{x-y}{z}$ : on a $0<a-c\leq x-y\leq b-d$ (positifs) et, en inversant $0<e\leq z\leq f$ : $0<\dfrac1f\leq\dfrac1z\leq\dfrac1e$. Par produit :
$$\frac{a-c}{f}\;\leq\;\frac{x-y}{z}\;\leq\;\frac{b-d}{e}.$$
On ne divise pas par $(x+1)^3$ (signe inconnu) : on factorise.
$$(x+1)^3(x-1)-(x+1)^4>0\iff (x+1)^3\big[(x-1)-(x+1)\big]>0\iff -2\,(x+1)^3>0\iff (x+1)^3<0\iff x<-1.$$
Ensemble des solutions : $\mathcal{S}=\left]-\infty,-1\right[$. Contrôle : pour $x=-2$, $(-1)^3(-3)=3>(-1)^4=1$ ✓.
II. Valeur absolue
Définition 5.1 — Valeur absolue
On appelle valeur absolue de $x\in\mathbb{R}$ le réel, noté $|x|$ et défini par :
$$|x|=\begin{cases}x & \text{si } x\geq 0\\ -x & \text{si } x<0\end{cases}$$
Remarque
La valeur absolue est définie par une disjonction de cas. Dans une définition par disjonction de cas, il faut bien que les cas soient disjoints. On a donc choisi de mettre le cas $x=0$ dans le cas positif mais on aurait pu faire le choix du cas négatif.
On peut définir la valeur absolue sans disjonction de cas en utilisant le maximum (noté $\max$) de deux nombres : $\forall x\in\mathbb{R},\ |x|=\max(x,-x)$. En effet :
si $x\geq 0$, alors $x\geq -x$ donc $\max(x,-x)=x=|x|$,
si $x<0$, alors $-x\geq x$ donc $\max(x,-x)=-x=|x|$.
Proposition 5.3
Soient $x,y\in\mathbb{R}$. On a :
$|x|\geq 0$,
$|x|=0\iff x=0$,
$|-x|=|x|$,
$|x-y|=|y-x|$,
$-|x|\leq x\leq |x|$,
$|x|=|y|\iff x=\pm y$,
soit $a\in\mathbb{R}_+$, $\ |x|\leq a\iff -a\leq x\leq a$.
Proposition 5.4
Soient $x,y\in\mathbb{R}$, soit $n\in\mathbb{N}$. On a :
$|xy|=|x|\,|y|$,
$|x^n|=|x|^n$,
si $y\neq0$, $\ \left|\dfrac{x}{y}\right|=\dfrac{|x|}{|y|}$.
$|x-a|\geq b\iff x-a\geq b$ ou $x-a\leq -b\iff x\leq a-b$ ou $x\geq a+b$.
Remarque
La valeur absolue d'un réel représente sa distance à 0. Si $a$ et $x$ sont deux réels, $|x-a|$ est la distance de $a$ à $x$. Si $b\geq0$, l'inégalité $|x-a|\leq b$ signifie que $x$ est à une distance de $a$ inférieure ou égale à $b$.
Les réels $x$ tels que $|x-a|\leq b$ forment le segment $[a-b,\,a+b]$, centré en $a$, de demi-longueur $b$.
Ces propriétés sont encore vraies en remplaçant les inégalités larges par des inégalités strictes.
En particulier, dans le cas $a=0$, on a : $|x|\leq b\iff -b\leq x\leq b$.
➪ Exemple 5.3
Résoudre, dans $\mathbb{R}$, l'inéquation suivante : $$|1-x|\leq 2|x|-3.$$
Résolution rédigée
On distingue selon le signe de $1-x$ et de $x$ :
$x\geq1$ : $|1-x|=x-1$ et $|x|=x$. L'inéquation devient $x-1\leq 2x-3\iff x\geq 2$. Solutions : $[2,+\infty[$.
Définition 5.2
Soit $A$ une partie de $\mathbb{R}$. On dit que :
$M\in\mathbb{R}$ est un majorant de $A$ ssi : $\forall x\in A,\ x\leq M$.
$m\in\mathbb{R}$ est un minorant de $A$ ssi : $\forall x\in A,\ x\geq m$.
$A$ est majorée ssi $A$ admet un majorant, c'est-à-dire : $\exists M\in\mathbb{R},\ \forall x\in A,\ x\leq M$.
$A$ est minorée ssi $A$ admet un minorant, c'est-à-dire : $\exists m\in\mathbb{R},\ \forall x\in A,\ x\geq m$.
$A$ est bornée ssi $A$ est majorée et minorée, c'est-à-dire : $\exists m,M\in\mathbb{R},\ \forall x\in A,\ m\leq x\leq M$.
Remarque
En cas d'existence, il n'y a pas d'unicité du majorant. Par exemple, les majorants de $A=[0,1[$ sont tous les éléments de $[1,+\infty[$.
Proposition 5.9
Soit $A$ une partie de $\mathbb{R}$. $A$ est bornée ssi : $$\exists M\in\mathbb{R}_+,\ \forall x\in A,\ |x|\leq M.$$
Définition 5.3 — Maximum, minimum
Soit $A$ une partie de $\mathbb{R}$. On dit que :
Soit $M\in\mathbb{R}$. $M$ est le maximum de $A$ ou le plus grand élément de $A$ ssi : $$M\in A\quad\text{et}\quad\forall x\in A,\ x\leq M.$$ Un tel élément est unique, et est noté $M=\max(A)$.
Soit $m\in\mathbb{R}$. $m$ est le minimum de $A$ ou le plus petit élément de $A$ ssi : $$m\in A\quad\text{et}\quad\forall x\in A,\ x\geq m.$$ Un tel élément est unique, et est noté $m=\min(A)$.
Remarque
Une partie majorée n'admet pas toujours de maximum. Par exemple, $[0,1[$ est majorée mais n'admet pas de maximum.
Une partie finie admet toujours un maximum et un minimum.
⚠️ Précision (non-vide)
La dernière remarque est imprécise : il faut ajouter non vide. L'ensemble vide est fini, mais d'après la Définition 5.3 un maximum $M$ doit vérifier $M\in A$, ce qui est impossible si $A=\varnothing$. Énoncé exact : toute partie finie non vide de $\mathbb{R}$ admet un maximum et un minimum. Cette précision vient d'un raisonnement direct à partir de la définition, sans référence à un manuel : à confirmer avec le professeur.
3.2 Fonctions majorées, minorées, bornées
Définition 5.4
Soit $D$ une partie non vide de $\mathbb{R}$. Soit $f:D\to\mathbb{R}$. On dit que $f$ est :
majorée (sur $D$) ssi : $\exists M\in\mathbb{R},\ \forall x\in D,\ f(x)\leq M$. Un tel $M$ est appelé majorant de $f$ sur $D$.
minorée (sur $D$) ssi : $\exists m\in\mathbb{R},\ \forall x\in D,\ f(x)\geq m$. Un tel $m$ est appelé minorant de $f$ sur $D$.
bornée (sur $D$) ssi $f$ est majorée et minorée, c'est-à-dire : $\exists m,M\in\mathbb{R},\ \forall x\in D,\ m\leq f(x)\leq M$.
Remarque
L'ordre des quantificateurs est très important. Il faut bien placer le « $\exists M$ » avant le « $\forall x$ » afin que $M$ ne dépende pas de $x$.
Ces propriétés se traduisent géométriquement par des courbes représentatives qui sont en dessous ou au-dessus de droites horizontales.
Règle vérifiée : la droite $y=M$ (resp. $y=m$) est un majorant (resp. minorant) car la courbe reste entièrement en dessous (resp. au-dessus) d'elle.
Proposition 5.10 — Caractérisation des fonctions bornées
Soit $D$ une partie non vide de $\mathbb{R}$. Soit $f:D\to\mathbb{R}$. La fonction $f$ est bornée ssi : $$\exists M\in\mathbb{R}_+,\ \forall x\in D,\ |f(x)|\leq M.$$
Remarque
Ce résultat est analogue à celui vu sur les parties bornées. Il dit qu'une fonction $f$ est bornée ssi $|f|$ est majorée.
Définition 5.5 — Maximum, minimum d'une fonction
Soit $D$ une partie non vide de $\mathbb{R}$. Soient $f:D\to\mathbb{R}$ et $a\in D$. On dit que :
$f$ admet un maximum en $a$ ssi : $\forall x\in D,\ f(x)\leq f(a)$. Le réel $f(a)$ est alors appelé le maximum de $f$ en $a$, on le note $\displaystyle\max_D f$ ou $\displaystyle\max_{x\in D}f(x)$.
$f$ admet un minimum en $a$ ssi : $\forall x\in D,\ f(x)\geq f(a)$. Le réel $f(a)$ est alors appelé le minimum de $f$ en $a$, on le note $\displaystyle\min_D f$ ou $\displaystyle\min_{x\in D}f(x)$.
Remarque
Contrairement au majorant, le maximum est toujours atteint.
Une fonction peut n'avoir ni maximum, ni minimum, ou bien encore le maximum s'il existe peut être atteint en plusieurs points.
La fonction admet un maximum aux points $a$ et $b$ : la courbe touche la droite horizontale (rouge) en ces deux points et reste en dessous ailleurs.
3.3 Suites minorées, majorées, bornées
Définition 5.6
On dit qu'une suite $(u_n)_{n\in\mathbb{N}}$ est :
Proposition 5.11 — Caractérisation des suites bornées
Soit $(u_n)_{n\in\mathbb{N}}$ une suite réelle. La suite $(u_n)_{n\in\mathbb{N}}$ est bornée ssi : $$\exists M\in\mathbb{R}_+,\ \forall n\in\mathbb{N},\ |u_n|\leq M.$$
➪ Exemple 5.5
On considère la suite $(u_n)$ définie par : $$u_0=\frac12\quad\text{et}\quad\forall n\in\mathbb{N},\ u_{n+1}=\frac{(-1)^n+u_n}{2}.$$ Montrons que $(u_n)$ est bornée.
Résolution rédigée
Montrons par récurrence que $\forall n\in\mathbb{N},\ |u_n|\leq 1$ (ce qui suffit par la Proposition 5.11 avec $M=1$).
Initialisation : $|u_0|=\tfrac12\leq1$.
Hérédité : si $|u_n|\leq1$, l'inégalité triangulaire donne $|u_{n+1}|=\dfrac{|(-1)^n+u_n|}{2}\leq\dfrac{|(-1)^n|+|u_n|}{2}\leq\dfrac{1+1}{2}=1$.
Donc $(u_n)$ est bornée (par $M=1$).
IV. Partie entière
Définition 5.7 — Partie entière
Soit $x\in\mathbb{R}$. On appelle partie entière de $x$, et on note $\lfloor x\rfloor$, le plus grand entier relatif inférieur ou égal à $x$ : $$\lfloor x\rfloor=\max\{n\in\mathbb{Z},\ n\leq x\}.$$
Remarque
La partie entière d'un nombre n'est pas « ce qui est avant la virgule ». C'est faux pour les nombres négatifs : $\lfloor -1{,}7\rfloor=-2$.
Proposition 5.12
Soit $x\in\mathbb{R}$, soit $n\in\mathbb{R}$. $$n=\lfloor x\rfloor\iff n\in\mathbb{Z}\ \text{ et }\ n\leq x<n+1.$$ On a donc : $$\lfloor x\rfloor\leq x<\lfloor x\rfloor+1.$$
Note : le polycopié écrit « $n\in\mathbb{R}$ » ; l'énoncé reste correct puisque $n\in\mathbb{Z}$ figure à droite de l'équivalence.
En général, $\lfloor 2x\rfloor\neq 2\lfloor x\rfloor$. Par exemple, pour $x=\frac32$, $\lfloor 2x\rfloor=3$ et $2\lfloor x\rfloor=2$.
En général, $\lfloor x+y\rfloor\neq\lfloor x\rfloor+\lfloor y\rfloor$. Par exemple, pour $x=\frac12$ et $y=\frac32$, $\lfloor x+y\rfloor=2$ et $\lfloor x\rfloor+\lfloor y\rfloor=1$.
Proposition 5.14
La fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $x\mapsto\lfloor x\rfloor$ est croissante, c'est-à-dire : $$\forall x,y\in\mathbb{R},\ x\leq y\Longrightarrow\lfloor x\rfloor\leq\lfloor y\rfloor.$$
Remarque
La fonction partie entière n'est pas strictement croissante sur $\mathbb{R}$, elle est constante sur tout intervalle $[n,n+1[$, $n\in\mathbb{Z}$.
Graphe de $x\mapsto\lfloor x\rfloor$ : sur chaque $[n,n+1[$ la valeur vaut $n$ (point plein à gauche : atteint ; point creux à droite : non atteint), avec un saut de $1$ en chaque entier. Vérifié : $\lfloor 0{,}5\rfloor=0$, $\lfloor -0{,}5\rfloor=-1$.
➪ Exemple 5.6
Montrer que : $$\forall m,n\in\mathbb{Z},\quad\left\lfloor\frac{n+m}{2}\right\rfloor+\left\lfloor\frac{n-m+1}{2}\right\rfloor=n.$$
Résolution rédigée
On distingue selon la parité de $n+m$.
$n+m=2k$ : $\left\lfloor\frac{n+m}{2}\right\rfloor=k$ et $n-m+1=2(n-k)+1$, donc $\left\lfloor\frac{n-m+1}{2}\right\rfloor=\left\lfloor (n-k)+\frac12\right\rfloor=n-k$. Somme : $k+(n-k)=n$.
$n+m=2k+1$ : $\left\lfloor\frac{n+m}{2}\right\rfloor=\left\lfloor k+\frac12\right\rfloor=k$ et $n-m+1=2(n-k)$, donc $\left\lfloor\frac{n-m+1}{2}\right\rfloor=n-k$. Somme : $n$.
Dans les deux cas la somme vaut $n$. $\blacksquare$
Posons $n=\lfloor x+1\rfloor\in\mathbb{Z}$. Par la Proposition 5.12, l'équation équivaut à
$$n\leq x+1<n+1\quad\text{et}\quad n\leq 3x-2<n+1,$$
soit $x\in[n-1,\,n[\ \cap\ \left[\dfrac{n+2}{3},\,\dfrac{n+3}{3}\right[$. Cette intersection est non vide ssi $n-1<\dfrac{n+3}{3}$ et $\dfrac{n+2}{3}<n$, c'est-à-dire $n<3$ et $n>1$ : donc $n=2$. Alors $x\in[1,2[\ \cap\ \left[\tfrac43,\tfrac53\right[=\left[\tfrac43,\tfrac53\right[$.
➪ Exemple 5.8
Soit $n\in\mathbb{N}^*$, soit $f:\ \mathbb{R}\to\mathbb{R},\ x\mapsto x-n\left\lfloor\dfrac{x}{n}\right\rfloor$. Montrer que $f$ est périodique et que : $$\forall x\in\mathbb{R},\ 0\leq f(x)<n.$$
Résolution rédigée
Périodicité : par la Proposition 5.13, $\left\lfloor\dfrac{x+n}{n}\right\rfloor=\left\lfloor\dfrac xn+1\right\rfloor=\left\lfloor\dfrac xn\right\rfloor+1$, donc
$f(x+n)=x+n-n\left(\left\lfloor\frac xn\right\rfloor+1\right)=f(x)$ : $f$ est $n$-périodique.
Encadrement : par la Proposition 5.12, $\left\lfloor\frac xn\right\rfloor\leq\frac xn<\left\lfloor\frac xn\right\rfloor+1$. En multipliant par $n>0$ : $n\left\lfloor\frac xn\right\rfloor\leq x<n\left\lfloor\frac xn\right\rfloor+n$, soit $0\leq x-n\left\lfloor\frac xn\right\rfloor<n$. $\blacksquare$
Quiz de fin de chapitre
1. [Définition] Que signifie « $M$ est le maximum de $A$ » et en quoi est-ce plus fort que « $M$ est un majorant de $A$ » ? Donner un exemple de partie majorée sans maximum.
Voir la réponse
Réponse
Un majorant vérifie seulement $\forall x\in A,\ x\leq M$. Le maximum exige en plus $M\in A$ : il est atteint. Exemple : $A=[0,1[$ est majorée (par tout élément de $[1,+\infty[$) mais $1\notin A$ et aucun élément de $A$ n'est plus grand que tous les autres : pas de maximum.
2. [Définition] Donner $\lfloor 2{,}9\rfloor$, $\lfloor -2{,}3\rfloor$ et $\lfloor -5\rfloor$. Pourquoi la partie entière n'est-elle pas « ce qui est avant la virgule » ?
Voir la réponse
Réponse
$\lfloor 2{,}9\rfloor=2$, $\lfloor -2{,}3\rfloor=-3$, $\lfloor -5\rfloor=-5$. C'est le plus grand entier $\leq x$ : pour $x<0$ non entier, il est en dessous de $x$, alors que « ce qui est avant la virgule » ($-2$) est au-dessus de $-2{,}3$.
3. [Application directe] Résoudre $|2x-1|\leq 3$ dans $\mathbb{R}$.
Voir la réponse
Réponse
$|2x-1|\leq3\iff-3\leq2x-1\leq3\iff-2\leq2x\leq4\iff-1\leq x\leq2$. Donc $\mathcal{S}=[-1,2]$ (segment de centre $\frac12$ et de demi-longueur $\frac32$).
4. [Application directe] On sait que $2\leq x\leq3$ et $-5\leq y\leq-4$. Encadrer $xy$.
Voir la réponse
Réponse
On se ramène à des positifs : $4\leq -y\leq5$, donc $2\cdot4\leq x(-y)\leq3\cdot5$, soit $8\leq-xy\leq15$, d'où $-15\leq xy\leq-8$.
5. [Conceptuel] Pourquoi l'ordre des quantificateurs est-il crucial dans « $\exists M,\ \forall x\in D,\ f(x)\leq M$ » ? Que dirait « $\forall x\in D,\ \exists M,\ f(x)\leq M$ » ?
Voir la réponse
Réponse
Dans la première, $M$ est choisi avant $x$ : c'est une borne commune à toutes les valeurs. Dans la seconde, $M$ peut dépendre de $x$ : il suffit de prendre $M=f(x)$, donc la propriété est vraie pour toute fonction et n'exprime plus rien.
6. [Conceptuel] Si $f$ admet un maximum en $a$, ce maximum est-il un majorant ? Un majorant est-il forcément un maximum ?
Voir la réponse
Réponse
Si $f$ admet un maximum en $a$, alors $f(x)\leq f(a)$ pour tout $x$ : $f(a)$ est un majorant, atteint en $a$. Réciproque fausse : un majorant n'est pas forcément atteint (ex. $x\mapsto -x^2$ sur $\mathbb{R}$ est majorée par $1$, mais son maximum vaut $0$).
7. [Piège] Sachant $1\leq x\leq2$ et $3\leq y\leq5$, un élève écrit $1-3\leq x-y\leq2-5$. Où est l'erreur et quel est le bon encadrement ?
Voir la réponse
Réponse
On ne soustrait pas des inégalités membre à membre. Il faut d'abord multiplier l'encadrement de $y$ par $-1$ : $-5\leq-y\leq-3$, puis additionner : $1-5\leq x-y\leq2-3$, soit $-4\leq x-y\leq-1$. (L'élève obtient $-2\leq x-y\leq-3$, qui est absurde.)
8. [Piège] Vrai ou faux : (a) $\sqrt{x^2}=x$ pour tout réel $x$ ; (b) $\lfloor x+y\rfloor=\lfloor x\rfloor+\lfloor y\rfloor$ pour tous réels $x,y$ ?
Voir la réponse
Réponse
(a) Faux : $\sqrt{x^2}=|x|$ ; pour $x=-3$, $\sqrt9=3\neq-3$. (b) Faux : pour $x=\frac12$ et $y=\frac32$, $\lfloor2\rfloor=2$ alors que $0+1=1$. En revanche $\lfloor x+n\rfloor=\lfloor x\rfloor+n$ est vrai quand $n$ est entier.
9. [Synthèse] Démontrer $2|ab|\leq a^2+b^2$ en utilisant la valeur absolue et un carré.
Voir la réponse
Réponse
$|ab|=|a||b|$ (Prop. 5.4) et $a^2=|a|^2$, $b^2=|b|^2$ (Prop. 5.4/5.5). Or $\big(|a|-|b|\big)^2\geq0$, donc $|a|^2+|b|^2-2|a||b|\geq0$, c'est-à-dire $2|ab|\leq a^2+b^2$.
10. [Synthèse] Soit $g(x)=x-\lfloor x\rfloor$. Montrer que $g$ est bornée, qu'elle admet un minimum, mais pas de maximum.
Voir la réponse
Réponse
Par la Prop. 5.12, $\lfloor x\rfloor\leq x<\lfloor x\rfloor+1$, donc $0\leq g(x)<1$ : $g$ est bornée. Le minimum $0$ est atteint en tout entier. Pas de maximum : $1$ est un majorant jamais atteint ($g<1$) ; et si $M=g(x_0)<1$, avec $x_0=n+M$, le point $x_1=n+\frac{1+M}{2}$ vérifie $g(x_1)=\frac{1+M}{2}>M$ : aucune valeur n'est maximale.
Programme officiel de Mathématiques en CPGE PCSI — Ministère de l'Enseignement supérieur et de la Recherche.
Vérifications : énoncés relus contre le PDF ; contre-exemples et démonstrations contrôlés à la main. Le seul point signalé est la précision « non vide » (encart ⚠️, section III). Les résolutions d'exemples et le quiz sont des ajouts de rédaction, absents du polycopié.