Modélisation des actions mécaniques — global/local

SI (Sciences Industrielles) — Statique · MPSI-PCSI1 · Lycée Gustave Eiffel (Bordeaux) · Enseignant : A. Roux · mis au propre le 19/09/2026

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Compétence attendue : modéliser une action mécanique.

1. Modélisation globale — locale

Un solide peut être caractérisé par un ensemble de points matériels $P_i$. Chaque point matériel $P_i$ est soumis à une action mécanique élémentaire $\vec{F_i}$.

Deux points de vue

Modèle local : réalisé par un champ de vecteurs $\vec{F_i}$, un par point matériel — décrit l'action mécanique point par point.
Modèle global : réalisé par un champ de torseurs — décrit l'effet résultant de l'ensemble des actions locales en un point donné.

Fig. 1 — Un même système d'actions mécaniques peut être décrit localement (un vecteur par point) ou globalement (un torseur résultant, en un point choisi) — ici sur l'exemple d'une pince à doigt.

1.1. Répartition des actions mécaniques

Un solide caractérisé par ses points matériels $P_1$, $P_2$, ..., $P_i$, chacun soumis à une action mécanique élémentaire.

La modélisation locale fait intervenir les forces élémentaires $\vec{F_i}$ qui agissent sur chaque point matériel $P_i$. L'effet local de l'action $\vec{F_i}$ en $P_i$ se modélise par le torseur :

$$\{dT_{i\to S}\}=\left\{\begin{array}{l}\overrightarrow{dR_{i\to S}}=\vec{F_i}\\ \overrightarrow{dM_{P_i,i\to S}}=\vec{0}\end{array}\right\}_{P_i}$$

L'effet global de l'ensemble des actions élémentaires $\vec{F_i}$, exprimé en un point A, se modélise par :

$$\{T_{i\to S}\}=\left\{\begin{array}{l}\overrightarrow{R_{i\to S}}=\sum_i \overrightarrow{dR_{i\to S}}=\sum_i \vec{F_i}\\ \overrightarrow{M_{A,i\to S}}=\sum_i \overrightarrow{dM_{A,i\to S}}=\sum_i \overrightarrow{AP_i}\wedge \vec{F_i}\end{array}\right\}_A$$

1.2. Modèle de torseur des actions mécaniques locales

Dans cette partie, le domaine $\Omega$ représente soit :

Un volume
Une surface
Une ligne

Pour définir la forme du torseur des actions mécaniques locales agissant sur un élément de domaine $d\Omega$, on fait l'hypothèse que l'action mécanique élémentaire agissant sur un élément de domaine $d\Omega$ est proportionnelle à la mesure de cet élément de domaine. On définit alors le torseur des actions mécaniques locales au point M du domaine :

Définition — densité d'efforts $$\{dT\}=\left\{\begin{array}{l}\overrightarrow{dF(M)}=\overrightarrow{eff(M)}.\,d\Omega\\ \vec{0}\end{array}\right\}_M$$ $\overrightarrow{eff(M)}$ est appelée densité d'efforts : elle dépend, dans le cas général, de la position de M. Selon la nature du domaine :

Domaine $\Omega$	Torseur local	Nom de $\overrightarrow{eff(M)}$
Volume	$\overrightarrow{dF(M)}=\overrightarrow{eff(M)}.dV$	densité volumique d'efforts (N/m³)
Surface	$\overrightarrow{dF(M)}=\overrightarrow{eff(M)}.dS$	densité surfacique d'efforts (N/m²)
Ligne	$\overrightarrow{dF(M)}=\overrightarrow{eff(M)}.dL$	densité linéique d'efforts (N/m)

Éléments d'intégration usuels selon le système de coordonnées :

Système	$dS$	$dV$
Cartésien	$dx.dy$	$dx.dy.dz$
Cylindrique	$r.d\theta.dz$	$r.d\theta.dz.dr$
Sphérique	$r^2.\sin\varphi.d\varphi.d\theta$	$r^2.\sin\varphi.d\varphi.d\theta.dr$

1.3. Modèle de torseur d'actions mécaniques globales

Une fois défini le torseur des actions mécaniques locales, on calcule le torseur global en un point A en intégrant l'ensemble des actions locales sur tout le domaine :

$$\{T\}=\left\{\begin{array}{l}\vec{F}=\displaystyle\int_\Omega \overrightarrow{dF(M)}=\int_\Omega \overrightarrow{eff(M)}\,d\Omega\\[4pt] \overrightarrow{M_A}=\displaystyle\int_\Omega \overrightarrow{AM}\wedge \overrightarrow{eff(M)}.\,d\Omega\end{array}\right\}_A$$

Exemple — force de pression dans un piston Une pression $p$ uniforme s'exerce sur une surface $S$ (fond du piston), de normale $\vec n$ orientée vers l'extérieur du solide isolé :

Force de pression uniforme sur le fond d'un piston, dans une chambre à la pression p.

$$\vec F=\int_{M\in S}\overrightarrow{dF(M)}=\int_{M\in S}p.\overrightarrow{dS(M)}=p.\int_{M\in S}dS(M)$$ $$\vec F=-p.\int_{M\in S}dS.\vec n=-p.S.\vec n$$

Exemple — couple sur un coussinet La répartition de pression sur un coussinet (palier lisse) de rayon $R$ et de largeur $L$ suit la loi $p(\theta)=p_M.\sin(\theta)$, avec $0\le\theta\le\pi$ et $-\frac{L}{2}\le z\le\frac{L}{2}$.

Fig. 2 — Coussinet : répartition de pression $p(\theta)=p_M\sin\theta$ sur la circonférence (vue de face, gauche) et sur la largeur $L$ (vue de côté, centre) — à droite, coussinets réels (paliers lisses).

Calcul du moment en O, avec $\vec n=\vec{e_r}$, $dS=R.d\theta.dz$, $\overrightarrow{OM}=R.\vec{e_r}+z.\vec z$ : $$\overrightarrow{M_O}=\int_S \overrightarrow{OM}\wedge \overrightarrow{eff(M)}.dS=\int_0^\pi\int_{-L/2}^{L/2}(R.\vec{e_r}+z.\vec z)\wedge(-p_M.\sin\theta.\vec{e_r}).R.d\theta.dz$$ En développant $\vec{e_r}\wedge\vec{e_r}=\vec 0$ et $\vec z\wedge\vec{e_r}=\vec{e_\theta}$, puis en projetant $\vec{e_\theta}=-\sin\theta.\vec x+\cos\theta.\vec y$, on obtient après intégration en $z$ (bornes symétriques $\pm L/2$, terme en $z$ nul) : $$\overrightarrow{M_O}=\vec 0$$ Si l'on calcule le même moment en un point B avec $0\le z\le L$ (bornes non symétriques), le terme en $z$ ne s'annule plus : $$\overrightarrow{M_B}=-\frac{p_M.R.\pi.L^2}{4}.\vec x$$

Remarque pédagogique Ce calcul illustre un point essentiel : le moment d'un torseur d'actions mécaniques dépend du point où il est exprimé (sauf pour la résultante). Le choix du point de réduction n'est jamais anodin.

1.4. Centre de poussée d'une répartition de forces

Considérons une répartition d'effort de densité $\overrightarrow{eff(M)}$ sur le domaine $\Omega$. Le torseur d'action mécanique résultant s'écrit :

$$\{T_{f\to S}\}=\left\{\begin{array}{l}\overrightarrow{R_{f\to S}}=\displaystyle\int_\Omega \overrightarrow{eff(M)}\,d\Omega\\[4pt] \overrightarrow{M_{O,f\to S}}=\displaystyle\int_\Omega \overrightarrow{OM}\wedge\overrightarrow{eff(M)}.\,d\Omega\end{array}\right\}_O$$

Définition — centre de poussée Le centre de poussée des actions mécaniques agissant sur $\Omega$ et résultant de la densité d'effort $\overrightarrow{eff(M)}$ est le point $P$ tel que le moment du torseur s'annule en $P$ : $$\{T_{f\to S}\}=\left\{\begin{array}{l}\overrightarrow{R_{f\to S}}=\displaystyle\int_\Omega \overrightarrow{eff(M)}\,d\Omega\\ \overrightarrow{M_{P,f\to S}}=\vec 0\end{array}\right\}_P$$

Pour trouver $P$, on écrit la relation de changement de point du moment (transport du moment de O vers P) :

$$\overrightarrow{OP}\wedge \overrightarrow{R_{f\to S}}=\int_{M\in S}\overrightarrow{OM}\wedge\overrightarrow{eff(M)}.\,d\Omega$$

Remarque Le centre de poussée des actions mécaniques de pesanteur est le centre de gravité du solide (cas particulier traité au § 2.1).

2. Modélisation des actions mécaniques à distance

2.1. Modélisation des actions mécaniques de pesanteur

La pesanteur agit en tout point d'un solide et résulte du phénomène d'attraction terrestre. Soit $\overrightarrow{eff(M)}$ la répartition volumique d'effort résultant de la pesanteur en tout point M d'un solide ; chaque élément de volume $dV$ est soumis à une action $\overrightarrow{dF(M)}$.

Pour un corps homogène, la pesanteur induit la répartition volumique d'effort :

Densité volumique de pesanteur $$\overrightarrow{eff(M)}=-\rho.g.\vec z \quad(\vec z \text{ vertical ascendant})$$ avec $g$ l'accélération de la pesanteur (m/s²) et $\rho$ la masse volumique du corps (kg/m³).

Le torseur des actions mécaniques locales dû à la pesanteur, agissant sur $dV$, s'écrit en tout point M :

$$\{dT_{pes\to S}\}=\left\{\begin{array}{l}\overrightarrow{dR_{pes\to S}}=-\rho.g.dV.\vec z\\ \vec 0\end{array}\right\}_M$$

Le torseur global résultant, en un point O quelconque :

$$\{T_{pes\to S}\}=\left\{\begin{array}{l}\overrightarrow{R_{pes\to S}}=\displaystyle\int_{M\in S}-\rho.g.dV.\vec z\\[4pt] \overrightarrow{M_{O,pes\to S}}=\displaystyle\int_{M\in S}\overrightarrow{OM}\wedge(-\rho.g.dV.\vec z)\end{array}\right\}_O$$

Si G est le centre de gravité du solide S, le torseur se réduit à :

$$\{T_{pes\to S}\}=\left\{\begin{array}{l}\overrightarrow{R_{pes\to S}}=\vec P\\ \overrightarrow{M_{G,pes\to S}}=\vec 0\end{array}\right\}_G$$

où $\vec P$ représente le poids du solide S.

Remarque — ordre de grandeur L'action de $\vec g$ est souvent négligée dans beaucoup de problèmes. Prenons l'exemple d'une pince de robot dont le mors pèse 2,2 kg, donc la pesanteur est un glisseur de 21,56 N. L'action à imposer sur la pièce à serrer est 1000 N. On voit bien que l'action de $\vec g$ est négligeable devant celle du fluide.

2.1.1. Définition du centre de gravité d'un solide

Définition Le centre de gravité G du solide S est défini par : $$\int_{M\in S}\overrightarrow{GM}.dm=\int_{M\in S}\overrightarrow{GM}.\rho.dV=\vec 0$$

En faisant apparaître l'origine du repère : $\int_{M\in S}\overrightarrow{GM}.dm=\int_{M\in S}(\overrightarrow{G0}+\overrightarrow{OM}).dm=\vec 0 \Rightarrow m.\overrightarrow{OG}=\int_{M\in S}\overrightarrow{OM}.dm$, d'où :

$$\overrightarrow{OG}=\frac{1}{m}\int_{M\in S}\overrightarrow{OM}.dm$$

soit, coordonnée par coordonnée dans le repère $(\vec x,\vec y,\vec z)$ :

$$x_G=\frac{1}{m}\int_{M\in S}x.dm \qquad y_G=\frac{1}{m}\int_{M\in S}y.dm \qquad z_G=\frac{1}{m}\int_{M\in S}z.dm$$

Cas des masses discrètes Pour un solide S décomposé en masses discrètes $m_i$ de centres de gravité $G_i$ : $\overrightarrow{OG}=\dfrac{1}{m}\displaystyle\sum_i m_i\overrightarrow{OG_i}$.

2.1.2. Théorèmes de Guldin

Ces deux théorèmes permettent de trouver des surfaces, des volumes ou des positions de centres de gravité sans passer par une intégration directe — à condition que la courbe/surface génératrice ne traverse pas l'axe de rotation.

Premier théorème de Guldin L'aire de la surface engendrée par une courbe plane C, de longueur L, tournant autour d'un axe $\Delta$ de son plan (ne la traversant pas), est égale au produit de la longueur L de la courbe par le périmètre du cercle décrit par son centre de gravité : $$S=2\pi.R_G.L$$

Second théorème de Guldin Le volume engendré par une surface plane S tournant autour d'un axe $\Delta$ de son plan (ne la traversant pas) est égal au produit de l'aire de la surface par le périmètre du cercle décrit par son centre de gravité : $$V=2\pi.r_G.S$$

Fig. 3 — Premier théorème de Guldin, et son application au calcul de la surface latérale d'un cylindre de révolution : $S=2\pi.R.h$.

Fig. 4 — Second théorème de Guldin, et son application au calcul du volume d'un cylindre : $V=2\pi.\dfrac{R}{2}.R.h=\pi R^2h$.

3. Modélisation des actions mécaniques, hypothèse du contact parfait

3.1. Modèle du contact parfait

Hypothèses du contact parfait

Les pièces mécaniques sont des solides indéformables.
Les surfaces sont géométriquement parfaites.
Les jeux sont nuls.
Le contact est sans frottement, ni adhérence.

Conséquence : la puissance des efforts de liaison peut s'écrire par le comoment de torseur :

$$P_{i\to j}=\{T_{M,i\to j}\}\otimes\{V_{M,i/j}\}=\overrightarrow{R_{i\to j}}.\overrightarrow{V_{M\in i/j}}+\overrightarrow{\Omega_{i/j}}.\overrightarrow{M_{M,i\to j}}=0$$

Remarque Si une liaison n'est pas parfaite (frottements), c'est le torseur d'inter-efforts qui est modifié — le torseur cinématique reste le même. La puissance dissipée dans la liaison est alors négative.

En admettant ces hypothèses, les efforts transmis entre deux solides sont perpendiculaires au plan tangent commun aux deux solides. Soient deux solides $S_1$ et $S_2$ en contact selon une surface S ; on isole $S_2$ et on note $\overrightarrow{dF_{1\to 2}(M)}$ l'action élémentaire exercée par $S_1$ sur $S_2$ au point M, dirigée vers l'intérieur du solide isolé.

Fig. 5 — Deux solides $S_1$ et $S_2$ en contact selon une surface $S$ ; élément de surface $dS$ autour du point M.

Modèle du contact parfait $$\overrightarrow{dF_{1\to2}(M)}=-p(M).dS.\vec n(M)$$ $p(M)$ : pression de contact au point M (Pa = N/m²) ; $\vec n(M)$ : vecteur unitaire normal au plan tangent commun en M, orienté vers l'extérieur du solide isolé.

Le torseur global des actions mécaniques exercé par $S_1$ sur $S_2$, exprimé en un point O quelconque :

$$\{T_{1\to2}\}=\left\{\begin{array}{l}\overrightarrow{R_{1\to2}}=\displaystyle\int_{M\in S}-p(M).dS.\vec n(M)\\[4pt] \overrightarrow{M_{O,1\to2}}=\displaystyle\int_{M\in S}\overrightarrow{OM}\wedge-p(M).dS.\vec n(M)\end{array}\right\}_O$$

3.2. Actions mécaniques dans une liaison parfaite

Considérons une liaison appui-plan de normale $\vec z$, avec $(O,\vec x,\vec y,\vec z)$ un repère local. Le torseur des actions mécaniques exercées par 1 sur 2 s'écrit, dans le cas général :

Fig. 6 — Liaison appui-plan de normale $\vec z$ : répartition de pression entre les solides 1 et 2.

Répartition de pression quelconque $p(M)$ sur une surface de contact plane — cas général dont l'appui-plan uniforme est un cas particulier.

$$\{T_{1\to2}\}=\left\{\overrightarrow{R_{1\to2}}\atop \overrightarrow{M_{O,1\to2}}\right\}_O=\begin{pmatrix}X_{12}&L_{12}\\Y_{12}&M_{12}\\Z_{12}&N_{12}\end{pmatrix}_{(O,\vec x,\vec y,\vec z)}$$

L'objectif est de simplifier ce torseur compte tenu de la nature du contact. Deux méthodes le permettent (la seconde est à privilégier) :

3.2.1. Passage local-global

Dans une liaison appui-plan, la surface de contact est un plan : la densité d'effort élémentaire est portée par la normale extérieure au plan de contact, seule son intensité est inconnue.

$$\overrightarrow{dF_{1\to2}(M)}=-p(M).dS.\vec n(M)$$

Résultante : $\overrightarrow{R_{1\to2}}=\displaystyle\int_{M\in S}-p(M).dS.\vec n(M)=\int_{M\in S}-p(M).dS.\vec z=Z_{12}.\vec z$ avec $\vec n(M)=\vec z$ en tout point M.

Moment en O : $\overrightarrow{M_{O,1\to2}}=\displaystyle\int_{M\in S}\overrightarrow{OM}\wedge-p(M).dS.\vec n(M)=\int_{M\in S}(x.\vec x+y.\vec y)\wedge-p(M).dS.\vec z$

$$\overrightarrow{M_{O,1\to2}}=\int_{M\in S}\big(x.p(M).dS.\vec y-y.p(M).dS.\vec x\big)=M_{12}.\vec y+L_{12}.\vec x$$

Résultat — liaison appui-plan parfaite $$\{T_{1\to2}\}=\left\{\begin{array}{cc}0&L_{12}\\0&M_{12}\\Z_{12}&0\end{array}\right\}_{(O,\vec x,\vec y,\vec z)}$$

3.2.2. Complémentarité cinématique-statique

Le torseur des actions mécaniques transmissibles du solide 2 sur le solide 1 peut directement se déduire du torseur cinématique du solide 2 par rapport au solide 1 (principe de dualité cinématique/statique — un degré de liberté cinématique correspond à une composante d'effort nulle, et réciproquement).

3.3. Action hydrostatique d'un fluide sur un solide

On cherche à modéliser l'action mécanique exercée par un fluide sur une paroi solide.

Règle Les forces de pression exercent une action mécanique perpendiculairement à la surface du solide sur laquelle elles agissent.

Soit M un point d'un fluide à l'altitude z (axe $\vec z$ vertical descendant). La pression varie selon la loi $p(z)=\rho.g.z+cste$, la constante étant fixée par la connaissance de la pression en au moins un point de l'espace (elle dépend du paramétrage retenu pour chaque exercice).

Fig. 7 — Action d'un fluide sur une paroi solide : force de pression $\overrightarrow{dF_P}=-p(M).dS.\vec n(M)$, normale à la paroi, avec $\vec n(M)$ dirigé vers l'extérieur du solide isolé.

L'effort élémentaire $\overrightarrow{dF_P}$ agissant sur un élément de surface $dS$ est donné par $\overrightarrow{dF_P}=-p(M).dS.\vec n(M)$, d'où la forme générale du torseur des actions mécaniques exercées par le fluide sur une paroi :

$$\{T_{Fluide\to S}\}=\left\{\begin{array}{l}\overrightarrow{R_{Fluide\to S}}=\displaystyle\int_{M\in S}-p(M).dS.\vec n(M)\\[4pt] \overrightarrow{M_{O,Fluide\to S}}=\displaystyle\int_{M\in S}\overrightarrow{OM}\wedge-p(M).dS.\vec n(M)\end{array}\right\}_O$$

4. Modélisation locale des actions mécaniques de contact avec frottement

4.1. Contact surfacique ou linéique avec frottement

Les lois de Coulomb concernant le frottement de glissement ne sont valables strictement que pour un contact ponctuel ou « quasi ponctuel ». Or, très souvent, le contact entre deux solides s'effectue sur une surface entière. Il suffit alors de considérer de petites zones « quasi ponctuelles » autour de chaque point de la zone de contact, et d'écrire les lois de Coulomb sur les densités surfaciques d'actions mécaniques.

4.2. Modèle local avec frottement

Dans la pratique, le contact ne s'effectue jamais sur des surfaces parfaitement lisses, mais présente des aspérités à l'échelle microscopique — d'où la nécessité d'étudier ce phénomène au niveau local.

Fig. 8 — Contact réel entre deux surfaces rugueuses : les aspérités à l'échelle microscopique justifient l'étude locale du frottement.

On considère un domaine de contact $\Omega$ (surface S ou ligne de longueur L) et un élément de domaine $d\Omega$ autour d'un point P de normale $\vec n(P)$ (normale extérieure à 2, dirigée de 2 vers 1). Le torseur élémentaire d'action mécanique de 1 sur 2 est donné en P par :

$$\{dT_{1\to2}\}=\left\{\begin{array}{l}\overrightarrow{dF_{1\to2}(P)}=\overrightarrow{eff(P)}\,d\Omega\\ \vec 0\end{array}\right\}_P$$

où $\overrightarrow{eff(P)}$ est la densité d'efforts en P : densité linéique (N/m) si le contact est linéique, densité surfacique (N/m²) s'il est surfacique.

Rappel — dans le modèle de contact parfait, la densité d'efforts est dirigée selon la normale au contact : $\overrightarrow{eff(P)}=-p(P).\vec n(P)$. Pour prendre en compte le frottement au niveau de cet élément de domaine, on pose :

Modèle local avec frottement $$\overrightarrow{eff(P)}=-p(P).\vec n(P)+\vec q(P)$$ $p(P)$ : densité normale d'efforts (pression de contact) en P ; $\vec q(P)$ : densité tangentielle d'effort en P, tangente au plan de contact.

4.3. Lois de Coulomb locales

Les lois de Coulomb locales sont les mêmes que celles obtenues pour le contact ponctuel, mais portent sur les densités de forces. On note $\vec t(P)$ le vecteur unitaire directeur de la vitesse de glissement $\overrightarrow{V_{P\in2/1}}$ : $\vec t(P)=\dfrac{\overrightarrow{V_{P\in2/1}}}{\|\overrightarrow{V_{P\in2/1}}\|}$.

Cas du glissement $\overrightarrow{V_{P\in2/1}}\ne\vec0$ : $\vec q(P)$ est opposé à la vitesse de glissement, $\vec q(P)=-q(P).\vec t(P)$ avec $q(P)=f.p(P)>0$ ($f$ : coefficient de frottement).

Fig. 9 — Cas du glissement : le cône de frottement (demi-angle φ) contient la densité tangentielle $\vec q(P)$, opposée à la vitesse de glissement.

Cas du non-glissement $\overrightarrow{V_{P\in2/1}}=\vec0$ : on ne connaît pas la direction de $\vec q(P)$, seulement l'inégalité $q(P)

Fig. 10 — Cas du non-glissement : la direction de $\vec q(P)$ n'est pas connue, seule l'inégalité $q(P)

4.4. De l'action mécanique locale à l'action mécanique globale

La détermination du torseur d'action mécanique global nécessite l'écriture du torseur local en un point fixé, puis une intégration sur le domaine :

$$\{T_{1\to2}\}=\left\{\begin{array}{l}\overrightarrow{R_{1\to2}}=\displaystyle\int_\Omega\big[-p(P).\vec n(P)+\vec q(P)\big]\,d\Omega\\[4pt] \overrightarrow{M_{A,1\to2}}=\displaystyle\int_\Omega\overrightarrow{AP}\wedge\big[-p(P).\vec n(P)+\vec q(P)\big]\,d\Omega\end{array}\right\}_A$$

Comme pour le contact ponctuel, on se placera très souvent à la limite de glissement pour connaître la densité tangentielle d'efforts $q(P)$. Il faut alors également connaître la loi de répartition de la pression $p(P)$, le plus souvent supposée constante dans les cas les plus courants.

4.5. Frottement visqueux local

Le frottement visqueux local s'appuie sur la même théorie que le frottement visqueux vu pour les liaisons ponctuelles. Localement, il sera très souvent représenté par un effort local de type amortisseur :

$$\vec p(P)=-k.\vec v \quad(k \text{ coefficient de l'amortissement local, en N.s/m}^3)$$

Quiz de fin de chapitre

1. Quelle est la différence fondamentale entre une modélisation « locale » et une modélisation « globale » d'une action mécanique ?

Réponse La modélisation locale décrit l'action mécanique point par point (champ de vecteurs $\vec F_i$ ou densité d'efforts $\overrightarrow{eff(M)}$) ; la modélisation globale décrit l'effet résultant de l'ensemble des actions locales en un point unique, sous forme d'un torseur (résultante + moment).

2. Pourquoi le vecteur normal $\vec n(M)$ dans le modèle de contact parfait $\overrightarrow{dF_{1\to2}(M)}=-p(M).dS.\vec n(M)$ est-il orienté vers l'extérieur du solide isolé, alors que le signe « moins » suggère une force « rentrante » ?

Réponse C'est justement la combinaison des deux qui donne le bon sens physique : $\vec n(M)$ pointe vers l'extérieur du solide isolé (convention), et le signe « − » restitue le fait qu'une pression de contact ($p(M)>0$) pousse la matière vers l'intérieur du solide isolé (elle « comprime », elle ne « tire » jamais).

3. Pour le coussinet de rayon R et largeur L avec $p(\theta)=p_M\sin\theta$, le moment calculé au centre O (avec $-L/2\le z\le L/2$) est nul. Calculer, par symétrie, ce que devient ce moment si l'on choisit un point B tel que $0\le z\le L$ (bornes décalées).

Réponse $\overrightarrow{M_B}=-\dfrac{p_M.R.\pi.L^2}{4}.\vec x \ne \vec 0$ : contrairement à la résultante, le moment d'un torseur d'actions mécaniques dépend du point choisi pour l'exprimer (sauf cas particulier de symétrie, comme en O ici).

4. D'après le premier théorème de Guldin, quelle est l'aire de la surface engendrée par un segment de longueur $L=10$ cm, parallèle à un axe $\Delta$ et situé à une distance $R_G=5$ cm de cet axe, tournant complètement autour de $\Delta$ ?

Réponse $S=2\pi.R_G.L=2\pi\times0{,}05\times0{,}10\approx3{,}14\times10^{-2}\,\text{m}^2$ (c'est la surface latérale d'un cylindre de rayon 5 cm et de hauteur 10 cm).

5. Pourquoi la constante de la loi $p(z)=\rho.g.z+cste$ (pression hydrostatique) « dépend du paramétrage retenu pour chaque exercice » ?

Réponse Parce que $p(z)$ est une primitive : elle n'est définie qu'à une constante additive près. Cette constante se fixe en imposant une condition aux limites connue (par exemple $p=p_{atm}$ à la surface libre du fluide, où $z=0$ par convention) — le choix de l'origine des z change la valeur numérique de la constante, mais pas la physique.

6. Que se passe-t-il, dans le modèle du contact parfait, si l'on retire l'hypothèse « sans frottement » tout en gardant toutes les autres ?

Réponse Le torseur cinématique de la liaison (les degrés de liberté relatifs) reste inchangé, mais le torseur d'actions mécaniques (inter-efforts) change : une composante tangentielle $\vec q(P)$ apparaît en plus de la composante normale $-p(P).\vec n(P)$, et la puissance des efforts de liaison devient strictement négative (dissipation par frottement) au lieu d'être nulle.

7. Piège classique : un élève affirme que « le centre de poussée d'une répartition de pression est toujours au centre géométrique de la surface ». Est-ce vrai ?

Réponse Faux en général. Le centre de poussée est le point où le moment du torseur résultant s'annule ; il coïncide avec le centre géométrique seulement si la répartition de pression est uniforme (ou possède une symétrie particulière). Pour une répartition non uniforme (ex. pression hydrostatique croissant avec la profondeur), le centre de poussée est décalé par rapport au centre géométrique.

8. Piège classique : pour une liaison appui-plan parfaite de normale $\vec z$, un élève écrit le torseur transmissible sous la forme $\{T_{1\to2}\}=\{X_{12}\,\vec x; \vec 0\}$. Où est l'erreur ?

Réponse Deux erreurs : (1) la résultante d'une liaison appui-plan parfaite est portée par la normale au plan de contact, donc $Z_{12}.\vec z$ et non $X_{12}.\vec x$ ; (2) le moment n'est pas nul : il subsiste deux composantes $L_{12}.\vec x+M_{12}.\vec y$ dans le plan du contact (seule la composante de moment $N_{12}$ selon $\vec z$, l'axe normal, est nulle car rien ne s'y oppose sans frottement).

9. En quoi la « complémentarité cinématique-statique » (méthode 3.2.2) est-elle plus rapide que le « passage local-global » (méthode 3.2.1) pour trouver la forme simplifiée du torseur d'une liaison parfaite ?

Réponse Elle évite entièrement l'intégration sur la surface de contact : il suffit d'identifier, pour chaque degré de liberté cinématique autorisé par la liaison, la composante d'effort duale qui doit être nulle (principe de dualité), sans repasser par le calcul de $\overrightarrow{dF(M)}$ point par point.

10. Synthèse : pour un patin en contact plan avec frottement, glissant à vitesse constante non nulle sur un rail horizontal, écrire qualitativement les deux composantes de la densité d'effort $\overrightarrow{eff(P)}$ et justifier leur direction respective.

Réponse $\overrightarrow{eff(P)}=-p(P).\vec n(P)+\vec q(P)$ : la composante normale $-p(P).\vec n(P)$ est dirigée vers l'intérieur du patin (réaction du rail qui empêche l'interpénétration) ; la composante tangentielle $\vec q(P)=-q(P).\vec t(P)$ est opposée à la vitesse de glissement du patin par rapport au rail (elle s'oppose toujours au mouvement relatif, avec $q(P)=f.p(P)$ puisqu'il y a glissement effectif).

Sources

Cours « Modélisation des actions mécaniques — global/local », A. Roux, Lycée Gustave Eiffel (Bordeaux), PCSI/PSI — SII : aroux-sii.fr (site protégé par mot de passe — mot de passe d'accès : psi*2627).
Document original (PDF) : 10-2026-09-19_SI_Cours_Statique-Modelisation-globale-locale.pdf.
Théorèmes de Guldin (Pappus–Guldinus) : tout manuel de référence de mécanique générale prépa (ex. H-Prépa Mécanique) ou théorème de Pappus-Guldin.
Programme officiel de Sciences Industrielles pour l'Ingénieur, CPGE 1^re année (filière PCSI) : enseignementsup-recherche.gouv.fr.